[論文レビュー] Trade-off between Performance and Reversibility of Entanglement Concentration for Pure Entangled State

Wataru Kumagai, Masahito Hayashi|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、二粒子純粋状態におけるもつれ濃縮が漸近的極限において根本的になおざかれないことを確立し、濃縮性能と可逆性の間のトレードオフを示している。非最大もつれ状態に対しては、最小濃縮回復誤差（MCRE）が1に収束することを証明しており、これは、大量のコピーを用いても、圧縮後の完全な回復が不可能であることを意味する。

ABSTRACT

In quantum information theory, it is widely believed that entanglement concentration for bipartite pure states is asymptotically reversible. In order to examine this, we give a precise formulation of the problem, and show a trade-off relation between performance and reversibility, which implies the irreversibility of entanglement concentration. Then, we regard entanglement concentration as entangled state compression in an entanglement storage with lower dimension. Because of the irreversibility of entanglement concentration, an initial state can not be completely recovered after the compression process and a loss inevitably arises in the process. We numerically calculate this loss and also derive for it a highly accurate analytical approximation.

研究の動機と目的

• もつれ濃縮が漸近的に可逆的かどうかを厳密に検討し、広く信じられている可逆性の仮定に疑問を呈すること。
• もつれ濃縮の性能と元の状態の回復可能性の間の本質的トレードオフを定量化すること。
• LOCCに基づくもつれ圧縮における不可逆性の尺度として、最小濃縮回復誤差（MCRE）を定義・分析すること。
• 非漸近的および漸近的領域におけるもつれ濃縮の不可逆性について、解析的近似と数値的証拠を導出すること。
• 非最大もつれ状態では、LOCCによる完全なもつれ圧縮と回復が根本的にな不可能であることを確立すること。

提案手法

• もつれ濃縮と回復をLOCC操作として形式化し、濃縮誤差と最小回復誤差の2つの誤差指標を定義する。
• 濃縮操作と標的となるEPR状態のコピー数の両方に関して同時に最小化される、最小濃縮回復誤差（MCRE）を導入する。
• fidelityに基づく誤差指標 $ e^{ ext{C}}_n(m,C| ho) = 1 - F^2(C( ho^{igotimes n}), ilde{ ho}^{igotimes m}) $ および $ e^{ ext{R}}_n(C| ho) = \text{min}_{D:LOCC} \big[1 - F^2(\rho^{igotimes n}, D \bigcirc C(\rho^{igotimes n}))\big] $ を用いる。
• 状態のvon Neumannエントロピーと分散に対する中心極限定理を適用し、ガウス累積分布関数 $ G(x) $ を用いてMCREの漸近的近似を導出する。
• $ \tilde{K}(b,b'|\rho) = G\big( \frac{b - S_\rho b'}{\nu_\rho} \big) $ を証明し、有限サイズ補正下での誤差率の漸近的解析を可能にする。
• 主要結果として、非最大もつれ状態では $ \text{MCRE} \to 1 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立ち、初期状態のエントロピーと分散に依存する精密な漸近的形が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二粒子純粋状態におけるもつれ濃縮は、LOCC操作のもとで漸近的に可逆的か？
• RQ2 もつれ濃縮の性能と状態回復の成功確率の間の根本的トレードオフは何か？
• RQ3 最小濃縮回復誤差（MCRE）は、漸近的極限において任意に小さくできるか？
• RQ4 もつれ濃縮の不可逆性は、初期状態のエントロピーと分散にどのように依存するか？
• RQ5 不可逆性を考慮した場合、もつれ濃縮と希釈の最適漸近的レートは何か？

主な発見

• 非最大もつれ状態の任意の二粒子純粋状態に対して、最小濃縮回復誤差（MCRE）は漸近的極限で1に収束し、不可逆性が証明される。
• 非最大もつれ状態では、濃縮誤差を任意に小さくできるが、その代わり回復誤差は1に近づき、完全な回復は不可能になる。
• コピー数が $ n + b'\nu_\rho\big/\text{const} + o(\nu_\rho) $ のとき、MCREは $ 2G\big( \frac{S_\rho b'}{2\nu_\rho} \big) $ で下から抑えられ、非自明なトレードオフが示される。
• コピー数が $ n + b'\nu_\rho + o(\nu_\rho) $ で $ b' \to 0 $ のとき、MCREは1に収束し、最適レートからのわずかなずれでも不可逆性が生じることを確認する。
• 誤差率の漸近的近似はガウス累積分布関数 $ G(x) $ を用いて解析的に導出され、誤差は初期状態のエントロピー $ S_\rho $ と分散 $ V_\rho $ に依存する。
• 与えられた誤差 $ \rho $ を達成するために必要なEPR対の最小数 $ N_n(\rho|\rho) $ の正確な漸近的展開を導出し、$ N_n(\rho|\rho) = n + b_{\rho,\rho}\nu_\rho + o(\nu_\rho) $ と表され、$ b_{\rho,\rho} = -2\nu_\rho S_\rho^{-1} G^{-1}(1 - \rho/2) $ であることが示される。