[論文レビュー] Trading inverses for an irrep in the Solovay-Kitaev theorem

Adam Bouland, Māris Ozols|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Dec 28, 2017

Electronic and Structural Properties of Oxides参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、普遍的量子ゲート集合が逆元について閉じている必要をなくし、任意の有限群 G の非自明な既約表現を含むという条件に置き換えた、ソロヴァイ＝キタエフ定理の新版を提示する。群表現理論と既約表現の直交性を活用することで、多項式対数的（polylogarithmic）なコンpilationオーバーヘッドを達成し、普遍的量子計算における完全な逆元フリーのソロヴァイ＝キタエフ定理への部分的進展をもたらす。

ABSTRACT

The Solovay-Kitaev theorem states that universal quantum gate sets can be exchanged with low overhead. More specifically, any gate on a fixed number of qudits can be simulated with error $ε$ using merely $\mathrm{polylog}(1/ε)$ gates from any finite universal quantum gate set $\mathcal{G}$. One drawback to the theorem is that it requires the gate set $\mathcal{G}$ to be closed under inversion. Here we show that this restriction can be traded for the assumption that $\mathcal{G}$ contains an irreducible representation of any finite group $G$. This extends recent work of Sardharwalla et al. [arXiv:1602.07963], and applies also to gates from the special linear group. Our work can be seen as partial progress towards the long-standing open problem of proving an inverse-free Solovay-Kitaev theorem [arXiv:quant-ph/0505030, arXiv:0908.0512].

研究の動機と目的

• ゲート集合が逆元について閉じている必要がないソロヴァイ＝キタエフ定理の証明という、長年の未解決問題を解決すること。
• 逆元閉じる条件を表現論的条件に置き換えることで、逆元を含まないゲート集合にもソロヴァイ＝キタエフ定理の適用を拡張すること。
• 有限な普遍的ゲート集合が有限群の非自明な既約表現を含む場合に、任意のユニタリゲートを近似する構成的アルゴリズムを提供すること。
• 物理的実装においてしばしば現実的でない逆演算に依存するのを減らすことで、量子回路コンパイルの理論的基盤を強化すること。

提案手法

• 標準的な逆元閉じる要件を、ゲート集合が有限群 G の非自明な既約表現を含むという仮定に置き換える。
• 既約表現の直交性を用いて、元の定理の群の交換子に基づく誤差抑制と類似した誤差キャンセレーションを実現する。
• ε-恒等写像に近い演算子を、既約表現内の群元で平均化する関数 f(U) を用い、誤差を O(ε²) にまで低減する。これにより反復的改善が可能になる。
• 体積議論を適用して初期の ε₀-ネットのサイズを評価し、ε₀ が d 次元系では 1/d! のオーダーでスケーリングされることを示し、初期シーケンス長 ℓ₀ が Ω(d³ log d) であることを導出する。
• 元のソロヴァイ＝キタエフアルゴリズムの枠組みを、群の交換子ではなく既約表現平均化による誤差低減に適応する。
• 結果を特殊線形群のゲートに拡張し、より一般なリーリー群（完全なリーリー代数を持つもの）への一般化の可能性について議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆元閉じる要件を、多項式対数的コンパイルオーバーヘッドを損なわずに表現論的条件に置き換えることは可能か？
• RQ2 群の交換子や逆元を使わず、非自明な既約表現を用いても、同様の誤差抑制を達成できるか？
• RQ3 特に高次元系において、既約表現を用いることで ε₀-ネットのサイズを改善できるか？
• RQ4 既約表現平均化プロセスにおける群元の順序付けが、高次の誤差キャンセレーション（例：ε³ ではなく ε²）をもたらすか？
• RQ5 完全なリーリー代数を持つ任意の連結リーリー群に、逆元フリーのソロヴァイ＝キタエフ定理を一般化できるか？（逆元閉じる場合と同様に）

主な発見

• 本稿では、ゲート集合に任意の有限群 G の非自明な既約表現が含まれることを条件に、ソロヴァイ＝キタエフ定理の新版を確立した。
• コンパイルオーバーヘッドは 1/ε の多項式対数的スケーリングを維持し、具体的には O(log³·⁹⁷(1/ε)) であり、元の定理で達成可能な最良の境界と一致する。
• 誤差低減機構は、既約表現での平均化に依存しており、逆元を必要とせずに O(ε²) の誤差抑制を実現できる。
• 初期の ε₀-ネットサイズは ε₀ = Θ(1/d!) のオーダーであり、初期シーケンス長 ℓ₀ は Ω(d³ log d) となる。これは逆元閉じる場合の ℓ₀ = Ω(d²) よりも悪い。
• S₃ の2次元既約表現において、特定の群元の順序付けにより O(ε³) の誤差項が得られ、構造的な平均化により指数の改善が可能である可能性を示唆している。
• 結果は特殊線形群のゲートに拡張可能であり、より広いクラスのリーリー群への一般化への道筋を開く。