[論文レビュー] Traffic Congestion in Expanders, $(p,δ)$--Hyperbolic Spaces and Product of Trees

Shi Li, Gabriel H. Tucci|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、すべての三角形が $\delta$--スリムである必要をなくし、割合 $p$ の三角形のみが $\delta$--スリムであることを許容する、$(p,\delta)$--超曲面を導入する。これは、グロモフの超曲面性を一般化したものである。本稿では、測地線ルーティングにおける混雑度が $\Omega(p^2 n^2 / D_n^2)$ に比例することを確立し、$\Theta(n^2)$ の混雑度を持つ定数次数の拡張子族を構築する（ランダムな正則グラフの $O(n\log^3 n)$ とは対照的）。また、正則木の積における混雑度が $\Theta(n^2 / \log_{d-1}^{k-1} n)$ に比例することを示している。

ABSTRACT

In this paper we define the notion of $(p,δ)$--Gromov hyperbolic space where we relax Gromov's {\it slimness} condition to allow that not all but a positive fraction of all triangles are $δ$--slim. Furthermore, we study maximum vertex congestion under geodesic routing and show that it scales as $Ω(p^2n^2/D_n^2)$ where $D_n$ is the diameter of the graph. We also construct a constant degree family of expanders with congestion $Θ(n^2)$ in contrast with random regular graphs that have congestion $O(n\log^{3}(n))$. Finally, we study traffic congestion on graphs defined as product of trees.

研究の動機と目的

• すべての三角形が $\delta$--スリムである必要をなくし、$p$ の割合の三角形のみがスリム条件を満たすようにすることで、グロモフの超曲面性を一般化すること。
• 完全に超曲面的ではないが、緩い超曲面性条件を満たすグラフにおける測地線ルーティングにおける最大頂点混雑度を分析すること。
• 最大頂点混雑度が $\Theta(n^2)$ に達する定数次数の拡張子族を構築し、拡張子が本質的に低混雑度を有するという仮定に反するものとする。
• 正則木の積として構成されるグラフにおけるトラフィック混雑度を特定し、明確な漸近的スケーリングを導出すること。

提案手法

• $(p,\delta)$--超曲面を定義し、すべての3点組のうち少なくとも $p$ 分の1が $\delta$--スリムな測地線三角形を形成する距離空間とすること。
• 最大頂点混雑度の下界を導出：$\Omega(p^2 n^2 / D_n^2)$、ここで $D_n$ はグラフの直径を表す。
• 制御された経路数と混雑度解析を備えた再帰的木ベースの構成を用いて、定数次数の拡張子族を構築する。
• 木の積 $T_d^k$ のトラフィックを解析する際、中心頂点を通る最短経路数を再帰的経路数え上げと幾何級数の見積もりを用いて評価する。
• 帰納法と幾何級数の見積もりを用いて、再帰的構成における経路数の増加を制御し、コア頂点を通る総経路数が $O(n)$ であることを証明する。
• 超曲面群の木の積への準等長埋め込みを活用し、このような空間における混雑度を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に超曲面的であるグラフ（$p$ の割合の三角形が $\delta$--スリム）におけるトラフィック混雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ2 定数次数の拡張子グラフは、測地線ルーティングにおいて高混雑度を示す可能性があるか？これは、拡張子が本質的に低混雑度を有するという直観に反する。
• RQ3 正則 $d$--分岐木 $k$ 個の積として構成されるグラフにおける最大頂点混雑度の正確なスケーリングは何か？
• RQ4 グラフの直径が $(p,\delta)$--超曲面空間における混雑度の下界にどのように影響するか？

主な発見

• $ (p,\delta) $--超曲面グラフにおける最大頂点混雑度は $ \Omega(p^2 n^2 / D_n^2) $ に比例する。$p$ が0から離れている限り、部分的超曲面性であっても高混雑度が生じることを示している。
• 最大頂点混雑度が $ \Theta(n^2) $ に達する定数次数の拡張子族が構築された。これは、測地線ルーティングにおいて拡張子が高混雑度を被る可能性があることを示している。
• ランダムな $d$--正則グラフの混雑度は $ O(n \log^3 n) $ であり、構築された拡張子族の $ \Theta(n^2) $ に比べて著しく低い。
• 正則 $d$--分岐木 $k$ 個の積では、最大頂点混雑度が $ \Theta(n^2 / \log_{d-1}^{k-1} n) $ に比例する。これは $n^2$ に比べて対数的削減が生じることを示している。
• 木の積構成におけるコア頂点は、$ \Omega(n^2) $ 個の最短経路からのトラフィックを受ける。総経路数は $ O(n) $ で抑えられるため、中心部にトラフィックが集中していることが示唆される。
• 解析により、十分大きな $c$ に対して、再帰的構成における中心頂点を通る最短経路数は $n/2$ 以下であることが証明され、混雑度スケーリングの導出が可能になった。