[論文レビュー] Train tracks and the Gromov boundary of the complex of curves

Ursula Hamenstaedt|ArXiv.org|Sep 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 65

ひとこと要約

本稿では、曲面の曲線複体のグロモフ境界と、粗いハウスドルフ位相を備えた最小かつ満遍的 geodesic ラミネーションの空間の間の同相写像を確立する。トレイントラックと双曲幾何学を用いて、このようなラミネーションに粗いハウスドルフ位相で収束する曲線列が、グロモフ境界の点を定義する適切な列にちょうど一致することを証明し、幾何学的ラミネーションを用いて曲線複体の境界構造を同定する。

ABSTRACT

We give a combinatorial proof of an unpublished result of E. Klarreich: The Gromov boundary of the complex of curves of a non-exceptional oriented surface S of finite type can naturally be identified with the space of minimal geodesic laminations on S which fill up S, equipped with a coarse Hausdorff topology.

研究の動機と目的

• 曲面 $S$ の genus $g \geq 0$ で $m \geq 0$ 個の穴をもち、$3g - 3 + m \geq 2$ を満たすものについて、曲線複体 $\mathcal{C}(S)$ のグロモフ境界を特徴付けること。
• グロモフ境界 $\partial\mathcal{C}(S)$ と最小かつ満遍的 geodesic ラミネーションの空間 $\mathcal{B}$ の間の位相的同型を確立すること。
• ラミネーション上の粗いハウスドルフ位相における曲線列の収束が、グロモフ境界点の定義における適切な列にちょうど一致することを示すこと。
• グロモフ積によって誘導されるグロモフ境界上の位相が、$\mathcal{B}$ 上の粗いハウスドルフ位相と一致することを証明すること。

提案手法

• トレイントラック複体 $\mathcal{TT}$ におけるトレイントラックの使用により、geodesic ラミネーションを記述し、曲線列をモデル化する。
• 双曲幾何学と $\delta$-鋭角三角形条件の適用により、ある $\delta > 0$ に対して $\mathcal{C}(S)$ が $\delta$-双曲的であることを確立する。
• グロモフ積 $(x,y)_p = \frac{1}{2}(d(x,p) + d(y,p) - d(x,y))$ の定義により、適切な列とグロモフ境界の同値類を定義する。
• 空間 $\mathcal{B}$（最小かつ満遍的 geodesic ラミネーションで粗いハウスドルフ位相を備えたもの）から $\partial\mathcal{C}(S)$ への全単射 $\Lambda: \mathcal{B} \to \partial\mathcal{C}(S)$ の構成。
• 曲線列 $ (c_i) $ が $\mu \in \mathcal{B}$ に粗いハウスドルフ位相で収束する場合に限り、$ (c_i) $ が $\Lambda(\mu)$ を定義することの証明。
• トレイントラック列の準測地的性質を用いて、グロモフ積の減少とラミネーションの位相的収束との関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線複体 $\mathcal{C}(S)$ のグロモフ境界は、曲面 $S$ 上の幾何的対象として、どのように位相的に特徴付けられるか？
• RQ2 曲線列の粗いハウスドルフ位相における収束と、グロモフ境界点の定義との間の正確な位相的関係は何か？
• RQ3 グロモフ境界 $\mathcal{C}(S)$ は、最小かつ満遍的 geodesic ラミネーションの空間と自然に同一視可能か？
• RQ4 ラミネーション空間上の粗いハウスドルフ位相から、グロモフ境界上の位相を回復できるか？
• RQ5 グロモフ積による曲線列と境界点の対応関係は、粗いハウスドルフ位相における収束と同値か？

主な発見

• 最小かつ満遍的 geodesic ラミネーションの空間 $\mathcal{B}$ に粗いハウスドルフ位相を備えたものから、曲線複体のグロモフ境界 $\partial\mathcal{C}(S)$ への自然な同相写像 $\Lambda$ が存在する。
• 曲線列 $ (c_i) $ が $\mathcal{C}(S)$ 内にあり、$\mu \in \mathcal{B}$ に収束する場合に限り、$ (c_i) $ はグロモフ境界点 $\Lambda(\mu)$ を定義する。
• グロモフ積によって誘導される $\partial\mathcal{C}(S)$ 上の位相は、$\mathcal{B}$ 上の粗いハウスドルフ位相と一致し、位相的同型が確立される。
• 任意の $\lambda_0 \in \mathcal{B}$ に対して、$\mathcal{C}(S) \cup \partial\mathcal{C}(S)$ の部分集合 $U$ が $\lambda_0$ を含むグロモフ境界位相における近傍であるための必要十分条件は、$U$ が $\mathcal{B}$ 上の粗いハウスドルフ位相における $\lambda_0$ の近傍であることである。
• 証明は、$\pi^{-1}(\lambda_0)$ に属するすべてのラミネーションを運ぶトレイントラック $\tau$ の存在に依拠しており、トレイントラック列の準測地的性質を用いて、グロモフ積の減少と位相的収束との関係を関連付ける。
• 結果として、$\mathcal{C}(S)$ のグロモフ境界は、最小かつ満遍的 geodesic ラミネーションの空間と自然に同一視可能であり、境界が表面のラミネーションを用いて幾何的に実現可能であることが確認された。