[論文レビュー] Trajectory-based Theory of Relativistic Quantum Particles

Bill Poirier|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ミンコフスキー時空におけるスピン0の質量のある粒子に対する、波動関数を用いない、軌道に基づく相対論的量子力学の定式化を提案している。実数値の量子軌道を用い、作用の極値をとることで運動方程式が得られ、加速度を受ける観測者に対して新たなグローバル同時性構造を導入する。主な貢献は、複素波動関数の代わりに、第二階微分を空間に、第一階微分を時間に含む新しい種類の偏微分方程式（PDE）に従う実数値の軌道集合によって記述される、一般共変性を満たす単粒子相対論的理論であり、キーン＝ゴルドン方程式の確率密度と因果律に関する問題を解決する。

ABSTRACT

Recently, a self-contained trajectory-based formulation of non-relativistic quantum mechanics was developed [Ann. Phys. 315, 505 (2005); Chem. Phys. 370, 4 (2010); J. Chem. Phys. 136, 031102 (2012)], that makes no use of wavefunctions or complex amplitudes of any kind. Quantum states are represented as ensembles of real-valued quantum trajectories that extremize a suitable action. Here, the trajectory-based approach is developed into a viable, generally covariant, relativistic quantum theory for single (spin-zero, massive) particles. Central to this development is the introduction of a new notion of global simultaneity for accelerated particles--together with basic postulates concerning probability conservation and causality. The latter postulate is found to be violated by the Klein-Gordon equation, leading to its well-known problems as a single-particle theory. Various examples are considered, including the time evolution of a relativistic Gaussian wavepacket.

研究の動機と目的

• 波動関数や複素振幅に依存しない一般共変性を満たす単粒子相対論的量子理論を構築すること。
• キーン＝ゴルドン方程式に古くから存在する負の確率密度と因果律違反の問題を解決すること。
• 加速する粒子に対して、因果律と確率保存を保つ形で、グローバル同時性を定義する新しい概念を導入すること。
• 非相対論的量子力学の軌道に基づく形式を、質量のあるスピン0粒子の相対論的領域に拡張すること。
• 今後の曲がった時空、外部場、スピンを持つ粒子、粒子数が変化する系への拡張のための基盤を確立すること。

提案手法

• 量子状態を、C が個々の軌道をラベルする実数値の軌道 x(t,C) の集合として表現する。
• 軌道の運動方程式を導くために、作用関数の極値をとる相対論的作用関数を定義する。
• 各軌道の世界線幾何学に基づいて、加速観測者に対する新しいグローバル同時性構造を導入する。
• 空間座標に第二階微分、時間に第一階微分を含む、軌道密度に関する偏微分方程式（PDE）系を導出する。
• PDEの形と軌道の運動の制約を、確率保存と因果律を保証する仮説によって制限する。
• 時間と空間の微分の階数の明らかな非対称性にもかかわらず、PDEがローレンツ不変性を保つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動関数や複素振幅を用いない、一貫性があり一般共変性を満たす単粒子相対論的量子理論を構築できるか？
• RQ2 加速する観測者に対して、因果律と確率保存を保つ形でグローバル同時性をどのように定義できるか？
• RQ3 キーン＝ゴルドン方程式がなぜ因果律に反するのか、そしてそれが軌道に基づく再定式化によって解決できるか？
• RQ4 軌道密度を記述するPDEの構造は何か？ そして、標準的な相対論的波動方程式とはどのように異なるか？
• RQ5 軌道に基づくアプローチは、波動関数を導入しないで、例えば相対論的ガウス波束の時間発展といった既知の結果を再現できるか？

主な発見

• 波動関数の代わりに実数値の軌道集合を用いることで、キーン＝ゴルドン方程式に内在する負の確率密度と因果律違反を回避する軌道に基づく定式化が成功した。
• 導出された軌道密度に関するPDEは、空間座標に対して第二階微分、時間に対して第一階微分を含むが、ローレンツ変換に対して不変である。
• この理論は、加速する粒子に対して、一貫した時間発展と確率保存を定義するために不可欠な、加速観測者向けの新しいグローバル同時性構造を導入する。
• 低速度極限において、非相対論的軌道に基づく量子力学に滑らかに還元され、従来の非相対論的結果と整合することが確認された。
• この方法は、標準的な相対論的量子力学の代替として、自立的かつ一般共変性を満たす有効な代替手段を提供する。特に、質量のあるスピン0粒子に対して有効である。
• このフレームワークは、微分の階数の非対称性（空間に2階、時間に1階）が本質的であり、欠陥ではないことを示唆する。キーン＝ゴルドン方程式が引き起こす問題とは対照的に、第二階微分の対称構造を持つそれとは対照的である。