[論文レビュー] Transcendence of some Hilbert-Kunz multiplicities (modulo a conjecture)

Paul Monsky|ArXiv.org|Aug 7, 2009

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

特徴的2のハイパーサーフェスにおけるヒルベルト＝クンツ関数に関する予想を仮定すると、この論文は、超幾何級数から導かれる母関数の値の有理数線形結合として表されることが示されることにより、特定のヒルベルト＝クンツ多重度が超越数であることを証明する。主な結果は、母関数のハダマード積構造とシュナイダーの楕円積分に関する超越数理論を用いて、正の特徴的における超越ヒルベルト＝クンツ多重度の存在を確立する。

ABSTRACT

Suppose that h in F[x,y,z], char F=2, defines a nodal cubic. In earlier papers we made a precise conjecture as to the Hilbert-Kunz functions attached to the powers of h. Assuming this conjecture we showed that a class of characteristic 2 hypersurfaces has algebraic but not necessarily rational Hilbert-Kunz multiplicities. We now show that if the conjecture holds, then transcendental multiplicities exist, and in particular that the number \sum\binom{2n}{n}^{2}/(65,536)^{n}, proved transcendental by Schneider, is a Q-linear combination of Hilbert-Kunz multiplicities of characteristic 2 hypersurfaces.

研究の動機と目的

• 正の特徴的、特に特徴的2における超越ヒルベルト＝クンツ多重度の存在を確立すること。
• ヒルベルト＝クンツ関数に関する予想のもとで、特定の代数的ヒルベルト＝クンツ多重度が実際に超越的であるかどうかを調査すること。
• ハイパーサーフェスのクラスのヒルベルト＝クンツ多重度を、超幾何級数の特別な値に関連付けること。
• 既知の超越数 ∑(2n choose n)² / 65536ⁿ が、特徴的2のハイパーサーフェスのヒルベルト＝クンツ多重度の有理数線形結合として表されることを示すこと。

提案手法

• 論文は、特徴的2におけるべき級数 g に関連する母関数 θ_g のハダマール積構造を用いる。
• ノード型立方ハイパーサーフェスのヒルベルト＝クンツ関数に関する予想された公式を適用して、母関数 θ_g を導出する。
• Groーディック群上の写像 η: Γ_Q → Q の乗法的性質を活用して、ヒルベルト＝クンツ関数を θ_g の係数に関連付ける。
• g² に対して θ_g² = 1 + 2^r w · θ_g という恒等式を用いて、g のべきの母関数を関連付ける。
• f = x³ + y³ + xyz に対する母関数 θ_f を、予想された関数方程式を通じて超幾何級数に関連付ける。
• シュナイダーの、有理数係数楕円曲線上の1形式の積分に関する超越数定理を適用して、∑A_n² / 2^{16n} が超越的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的 F が 2 で、h ∈ F[x,y,z] がノード型立方であるような特徴的2のハイパーサーフェスのヒルベルト＝クンツ多重度は、代数的のままであるか、それとも超越的になり得るか？
• RQ2 例えば ∑(2n choose n)² / 65536ⁿ のような既知の超越数が、特徴的2のハイパーサーフェスのヒルベルト＝クンツ多重度の有理数線形結合として表現可能か？
• RQ3 ヒルベルト＝クンツ関数に関する予想のもとで、f = x³ + y³ + xyz に対する母関数 θ_f は Q(w) 上代数的か？
• RQ4 θ_g のハダマール積構造は、代数的ヒルベルト＝クンツ多重度から超越的ヒルベルト＝クンツ多重度を構成可能か？
• RQ5 ∑A_n² / 2^{16n} は超越的か？ もしそうならば、ヒルベルト＝クンツ多重度と関連付けることができるか？

主な発見

• ヒルベルト＝クンツ関数に関する予想を仮定すると、∑A_n² / 2^{16n} は特徴的2のハイパーサーフェスのヒルベルト＝クンツ多重度の有理数線形結合であることが示された。
• シュナイダーの、有理数係数楕円曲線上の1形式の積分に関する超越数定理を用いて、数 ∑(2n choose n)² / 65536ⁿ が超越的であることが証明された。
• f = x³ + y³ + xyz に対する母関数 θ_f は、超幾何級数表現を可能にする関数方程式を満たす。
• uv + ∑g_i のヒルベルト＝クンツ多重度は、θ_g_i のハダマール積として与えられ、代数的性質を超越的結果へと移すことができる。
• 仮定された予想のもとで、特徴的2における超越ヒルベルト＝クンツ多重度が存在することをこの論文は確立した。
• 積分 ∫_{-1}^1 dx / √((1 - 16λ²x²)(1 - x²)) は π∑A_n²λ^{2n} に等しく、この式を用いて級数と楕円曲線の周期を関連付ける。