[論文レビュー] Transcendental submanifolds of RP^n

Selman Akbulut, Henry King|ArXiv.org|Apr 26, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実射影空間 ℝℙⁿ の閉じた滑らかな部分多様体を構成し、それらは非特異な実射影代数的部分多様体と同相であるが、ℂℙⁿ 内の非特異な複素代数的部分多様体の実部に同相にできないことを示す。Stiefel-Whitney類とコhomological障害を用いて、特定の多様体—例えば、特定の m と s に対して ℝℙᵐ×S¹—が ℝℙⁿ に実代数的モデルを持つが、コhomologyにおける位相的不適合性のため、滑らかな複素代数的モデルに引き上げられないことを証明する。

ABSTRACT

In this paper we give examples of closed smooth submanifolds of RP^n which are isotopic to nonsingular projective subvarieties of RP^n but they can not be isotopic to the real parts of nonsingular complex projective subvarieties of CP^n.

研究の動機と目的

• ℝℙⁿ の滑らかな部分多様体を構成し、それらが非特異な実射影代数的部分多様体と同相であるが、ℂℙⁿ 内の非特異な複素代数的部分多様体の実部に同相にできないことの証明。
• 射影的閉包の失敗以上の、滑らかな部分多様体が複素代数的集合の実部として実現できないことを妨げる位相的障害を特定すること。
• 従来のアフィン空間における超越的部分多様体の例を、コhomological不変量を用いて射影的設定に拡張すること。
• 特定の多様体、例えば ℝℙᵐ×S¹ が、複素化と整合しない非自明な代数的コhomology類を有することに起因し、滑らかな複素代数的部分多様体に同相にできないことを示すこと。

提案手法

• s≥3（m が偶数の場合）または s≥5（m=4k+1 の場合）に対して、ℝℙᵐ を ℝ²ᵐ⁻ˢ に埋め込む。[MM] の結果を用いて、このような埋め込みが存在することを保証する。
• 補題 2 を適用し、部分多様体 M=ℝℙᵐ×S¹ を ℝℙⁿ 内で非特異な射影的閉代数的部分多様体 V⊂ℝℙⁿ に同相的に近似する。
• Larsen [Hr] を通じた Lefschetz の超平面定理を用いて、i≤s−1 に対して Hⁱ(Vℂ;ℤ) ≅ Hⁱ(ℂℙⁿ;ℤ) が成り立つことを示し、複素代数的コhomology類の像を制限する。
• V と Vℂ の mod 2 コhomology を解析し、制限写像 j*: Hⁱ(ℂℙⁿ;ℤ₂) → Hⁱ(ℝℙⁿ;ℤ₂) と j*: Hⁱ(Vℂ;ℤ₂) → Hⁱ(V;ℤ₂) を含む可換図式を用いる。i≤s−1 に対して Ĥℂ−algⁱ(V;ℤ₂)=0 であることを示す。
• [AK5] の定理 1 を適用し、Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂) を H²ₐ(V;ℤ₂)² に等置する。これは代数的コhomology類の平方を表す。
• Stiefel-Whitney類 w₁(V) と w₂(V) が実代数的集合に対して代数的である（[AK1] より）という事実を用い、s≥3 または s≥5 の場合に w₁²(V)≠0 が Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0 と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝℙⁿ の滑らかな部分多様体で、非特異な実射影代数的部分多様体と同相であるものすべてが、ℂℙⁿ 内の非特異な複素代数的部分多様体の実部に同相にできるか？
• RQ2 射影的閉包の失敗以上の、滑らかな部分多様体が複素代数的部分多様体の実部に同相にできないことを妨げる位相的障害は何か？
• RQ3 Stiefel-Whitney類およびその平方が、mod 2 コhomology において、実代数的部分多様体の複素代数的モデルの存在とどのように関係するか？
• RQ4 次元および埋め込みの余次元にどのような条件が課されると、Lefschetz の超平面定理が ℂℙⁿ 内の実代数的部分多様体の代数的コhomology を制限するか？
• RQ5 ℝⁿ 内の超越的部分多様体の構成を ℝℙⁿ に拡張し、複素化への障害を保ったまま行えるか？

主な発見

• ℝℙⁿ に閉じた滑らかな部分多様体 M⊂ℝℙⁿ が存在し、それらは非特異な射影代数的部分多様体と同相であるが、ℂℙⁿ の非特異な複素代数的部分多様体の実部に同相にできない。
• m が偶数で s≥3、または m=4k+1 で s≥5 の場合、部分多様体 M=ℝℙᵐ×S¹ は ℝℙⁿ 内で非特異な射影的閉代数的部分多様体 V⊂ℝℙⁿ と同相である。
• s≥3（m が偶数）または s≥5（m=4k+1）のとき、mod 2 コhomology の類 w₁²(V)≠0 が、Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0 と矛盾し、H²ₐ(V;ℤ₂)²=Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂) の条件を破る。
• 障害は、[AK1] より w₁²(V) が H²ₐ(V;ℤ₂)² 内で代数的である一方、Lefschetz の定理と埋め込みの余次元 s−1 により Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0 となることにある。
• この結果は、従来のアフィン空間における超越的部分多様体の例を射影的設定に一般化し、複素化への障害が本質的であり、単なる射影的閉包の失敗とは異なることを示している。
• m が偶数で s≥3、または m=4k+1 で s≥5 の場合、[MM] の結果により ℝℙᵐ↪ℝ²ᵐ⁻ˢ の埋め込みが存在することを保証するため、構成はすべてのこのような m に対して有効である。