[論文レビュー] Transfer Maps in Generalized Group Homology via Submanifolds

Martin Nitsche, Thomas Schick+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、余次元 k ≥ 1 の部分多様体に対して、等長的および群 C*-代数ホモロジー理論における一般化された転送写像を構成し、正スカラー曲率の古典的インデックス障害を拡張する。E-向きとスペクトル系列を用いて、包含写像に適合する E∗(Bπ₁M) から E∗−k(Bπ₁N) への自然な転送写像を確立し、特に KO-ホモロジーおよび通常ホモロジーにおける k=1 および k=2 の場合に、N 上での非自明なインデックスクラスが M 上でも非自明であることを示す。これは、適切な位相的条件下で成り立つ。

ABSTRACT

Let $N \subset M$ be a submanifold embedding of spin manifolds of some codimension $k \geq 1$. A classical result of Gromov and Lawson, refined by Hanke, Pape and Schick, states that $M$ does not admit a metric of positive scalar curvature if $k = 2$ and the Dirac operator of $N$ has non-trivial index, provided that suitable conditions are satisfied. In the cases $k=1$ and $k=2$, Zeidler and Kubota, respectively, established more systematic results: There exists a transfer $\mathrm{KO}_\ast(\mathrm{C}^{\ast} π_1 M) o \mathrm{KO}_{\ast - k}(\mathrm{C}^\ast π_1 N)$ which maps the index class of $M$ to the index class of $N$. The main goal of this article is to construct analogous transfer maps $E_\ast(\mathrm{B}π_1M) o E_{\ast-k}(\mathrm{B}π_1N)$ for different generalized homology theories $E$ and suitable submanifold embeddings. The design criterion is that it is compatible with the transfer $E_\ast(M) o E_{\ast-k}(N)$ induced by the inclusion $N \subset M$ for a chosen orientation on the normal bundle. Under varying restrictions on homotopy groups and the normal bundle, we construct transfers in the following cases in particular: In ordinary homology, it works for all codimensions. This slightly generalizes a result of Engel and simplifies his proof. In complex K-homology, we achieve it for $k \leq 3$. For $k \leq 2$, we have a transfer on the equivariant KO-homology of the classifying space for proper actions.

研究の動機と目的

• 部分多様体の正スカラー曲率に対するインデックス障害を、一般化ホモロジー理論における自然な転送写像を構築することで概念的に統一すること。
• スピン bordism からの古典的転送写像を、余次元 k の部分多様体に対して一般化ホモロジー理論 E∗(Bπ₁M) → E∗−k(Bπ₁N) に拡張すること。
• バーム＝コンスのアセンブリーマップを通じて、多様体上の転送と分類空間上の転送の整合性を確立すること。
• 通常ホモロジーにおけるエンゲルの結果を一般化し、K-ホモロジーにおけるタイドラーおよびクボタの結果を、より広い設定と弱い仮定の下で拡張すること。
• 一般化ホモロジーおよびスペクトル系列の観点から、グローマン＝ローラン＝ハンケの転送を概念的な枠組みで提示すること。

提案手法

• 正規バンドルの E-向きとポントリャーギン＝トーマス構成を用いて、E∗(M) から E∗−k(N) への転送写像 τM,N: E∗(M) → E∗−k(N) を構成する。
• 無限大結合モデル EΓ と商写像 q: EΓ → BΓ を用いて、分類空間の等長ホモロジーをスペクトル系列で計算する。
• ファイバーの逆像におけるホモトピー上昇性質と収縮ホモトピーを用いて、U がスターシェイプド近傍のとき q−1(U) が Bπy のモデルであることを示す。
• Lemma 5.14 を適用し、Hk(Bπy; Z) = 0 が 0 < k < n のとき成り立つことから、拡張問題が分解可能であることを保証する。
• E2(D2, S1) 内の2重スラスタ単位とその自明化による引き戻しを用いて、θ ∈ E2(Dν, Sν) を定義し、転送写像を分類空間へ拡張可能とする。
• Theorem 4.4 を適用して、適切な作用のための分類空間への転送写像の拡張を、ホモロジー理論の変換に関する自然性を用いて行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の余次元 k ≥ 1 を持つ部分多様体に対して、一般化ホモロジー理論における転送写像を、包含写像に適合する形で構成可能か？
• RQ2 基本群および正規バンドルにどのような条件下で、自由かつ適切な群作用のための分類空間へ、転送写像を多様体から拡張できるか？
• RQ3 KO-ホモロジーにおける転送写像は、正スカラー曲率のローゼンバーグインデックス障害とどのように関係するか？
• RQ4 通常ホモロジーにおける転送写像は、エンゲルの元々の結果を越えて一般化可能か？また、その証明は簡略化可能か？
• RQ5 余次元 2 の場合に、構築された転送写像は、クボタの最大群 C*-代数上の転送と整合的か？

主な発見

• 余次元 1 の場合、C∗max および C∗red の両方に対して有効な、古典的転送を上昇させる自然な転送写像 KO∗(C∗π1M) → KO∗−1(C∗π1N) が構成され、α(N) ≠ 0 ならば α(M) ≠ 0 であることが証明されている。
• 通常ホモロジーにおいて、すべての余次元に対して E∗(Bπ₁M) → E∗−1(Bπ₁N) となる転送写像が構成され、エンゲルの結果を一般化し、彼の証明を簡略化している。
• 複素 K-ホモロジーにおいて、余次元 k ≤ 3 の場合に転送が構成され、既知の結果を体系的に拡張している。
• k = 2 で正規バンドルが自明で、包含写像が π₁-単射かつ π₂-全射であるとき、KO-ホモロジーにおいて適切な作用のための分類空間への転送が拡張可能である。
• 転送写像はバーム＝コンスのアセンブリーマップおよびインデックスクラスと整合的であり、正スカラー曲率への部分多様体障害のための概念的枠組みを提供している。
• 適切な作用のための分類空間への転送の拡張は、ホモロジー理論の変換に関して自然であり、異なる理論間での一貫性を保証している。