[論文レビュー] Transfer matrices for piecewise constant potentials

G. F. Torres del Castillo, I. Rubalcava García|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Jun 7, 2007

Scientific Research and Discoveries被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子力学および電磁波伝播における1次元の区分的定数ポテンシャルの伝達行列を導出するための行列指数関数法を提示する。シュレーディンガー方程式および波動方程式を1階微分方程式系に再定式化することで、伝達行列を正確に計算でき、境界状態および準正規モードの直接計算が行列固有値解析により可能となる。同様の結果が、フレネル係数を用いない積層屈折率媒体に対しても得られる。

ABSTRACT

By expressing the time-independent Schrodinger equation in one dimension as a system of two first-order differential equations, the transfer matrix for a rectangular potential barrier is obtained making use of the matrix exponential. It is shown that the transfer matrix allows one to find the bound states and the quasinormal modes. A similar treatment for the one-dimensional propagation of electromagnetic waves in a homogeneous medium is also presented.

研究の動機と目的

• 区分的定数ポテンシャルの伝達行列を行列指数関数を用いて系統的に計算するための手法を開発すること。
• 伝達行列形式が行列固有値解析を用いて境界状態および準正規モードを直接特定可能であることを示すこと。
• フレネル係数に依存せずに、積層誘電体における1次元電磁波伝播に伝達行列法を拡張すること。
• 1階微分方程式系に基づく共通の数学的枠組みにおいて、量子散乱と電磁波伝播の取り扱いを統一すること。

提案手法

• 時間に依存しないシュレーディンガー方程式を2つの結合された1階微分方程式系に表現する。
• 行列指数関数を用いて定数ポテンシャル領域における系を統合し、長方形ポテンシャル障壁の伝達行列を導出する。
• ポテンシャル境界における波動関数およびその微分の連続性を用いて、全伝達行列を構築する。
• 電場およびその微分を変数とする1階系に波動方程式を表現することで、電磁波の伝達行列を導出する。
• 得られた伝達行列がSU(1,1)群に属することを確立し、行列式が1であり、確率密度流または電力流の保存を保証すること。
• 境界状態および準正規モードを求めるために、伝達行列の(1,1)成分を0と置く条件を解き、複素波数に関する超越方程式に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長方形ポテンシャル障壁の伝達行列は、行列指数関数法を用いてどのように導出可能か？
• RQ2 量子系における境界状態および準正規モードに対応する伝達行列の条件は何か？
• RQ3 同じ行列指数関数的手法を積層媒質における電磁波伝播に適用可能か？
• RQ4 伝達行列形式は、量子系および電磁系の両方において、確率密度流または電力流の保存をどのように保証するか？
• RQ5 伝達行列の数学的構造はリー群の観点からどのように記述可能か？また、物理的解にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 長方形ポテンシャル障壁の伝達行列は、系の係数行列の行列指数関数として導出され、区分的定数ポテンシャルに対して正確な解析的解が得られる。
• 境界状態は、伝達行列の(1,1)成分が0となる条件を解くことで特定され、波数およびポテンシャルパラメータを含む超越方程式に帰着する。
• 準正規モードは、同一の条件の複素解として現れ、時間的指数的減衰に起因する有限寿命の状態に対応する。
• 積層屈折率媒質における電磁波に対しては、フレネル係数を用いずに波動方程式から直接伝達行列を導出し、行列式が1であるSU(1,1)に属する行列が得られる。
• 行列乗算を用いることで、任意の区分的定数ポテンシャルまたは屈折率分布に対する透過・反射振幅を体系的に計算可能となる。
• 形式的枠組みにより、量子散乱と電磁波伝播が、1階微分方程式系および行列指数関数に基づく同一の数学的構造に従っていることが明らかになった。