[論文レビュー] Transfer matrix computation of generalised critical polynomials in percolation

Christian R. Scullard, Jesper Lykke Jacobsen|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的移行行列法を用いて、2次元格子上のコンduction閾値を効率的かつ高精度に計算する一般化臨界多項式を計算する手法を提案する。収縮-削除法の計算限界を克服するため、有限な基底における確率的貫通確率に基づいて臨界多項式を再定義することで、多項式の次数を最大243まで拡大し、(4,8²)、kagome、(3,12²)格子における結合percolation閾値の高精度な推定値を達成した。

ABSTRACT

Percolation thresholds have recently been studied by means of a graph polynomial $P_B(p)$, henceforth referred to as the critical polynomial, that may be defined on any periodic lattice. The polynomial depends on a finite subgraph $B$, called the basis, and the way in which the basis is tiled to form the lattice. The unique root of $P_B(p)$ in $[0,1]$ either gives the exact percolation threshold for the lattice, or provides an approximation that becomes more accurate with appropriately increasing size of $B$. Initially $P_B(p)$ was defined by a contraction-deletion identity, similar to that satisfied by the Tutte polynomial. Here, we give an alternative probabilistic definition of $P_B(p)$, which allows for much more efficient computations, by using the transfer matrix, than was previously possible with contraction-deletion. We present bond percolation polynomials for the $(4,8^2)$, kagome, and $(3,12^2)$ lattices for bases of up to respectively 96, 162, and 243 edges, much larger than the previous limit of 36 edges using contraction-deletion. We discuss in detail the role of the symmetries and the embedding of $B$. For the largest bases, we obtain the thresholds $p_c(4,8^2) = 0.676 803 329 ...$, $p_c(\mathrm{kagome}) = 0.524 404 998 ...$, $p_c(3,12^2) = 0.740 420 798 ...$, comparable to the best simulation results. We also show that the alternative definition of $P_B(p)$ can be applied to study site percolation problems.

研究の動機と目的

• 一般化臨界多項式を計算する収縮-削除法の計算ボトルネックを克服すること。
• 未解決の2次元格子におけるpercolation閾値を推定するより効率的な計算フレームワークを開発すること。
• 基底サイズが増加する際、[0,1]における一般化臨界多項式の根が正確なpercolation閾値に収束するという予想を検証すること。
• 基底の対称性および埋め込みの閾値予測の精度に与える影響を調査すること。
• 本手法をサイトpercolationおよび高次元への一般化に拡張すること（ただし、後者は未解決のまま）。

提案手法

• 有限な基底 $B$ のトーラス貫通確率に基づく確率的定義を用いて、一般化臨界多項式 $P_B(p)$ を再定式化する。
• 収縮-削除再帰の代わりに、計算コストの高いものに代わる、大規模な基底の貫通確率を効率的に計算する移行行列法を適用する。
• 貫通路の確率 $P_{\text{cross}}(p)$ と接続なしの確率 $P_{\text{nocross}}(p)$ が等しくなる条件 $P_{\text{cross}}(p) = P_{\text{nocross}}(p)$ を用いて臨界多項式を定義する。
• 最大243本の辺を扱える、並列化された移行行列アルゴリズムを実装し、従来の36本の辺の制限を著しく超えた。
• 基底の形状（正方形およびヘキサゴナル）とサイズを系統的に変化させ、閾値予測の収束性と普遍性をテストする。
• 被覆格子への適用または相関のあるサイトを用いることで、同様の貫通確率条件をサイトpercolationに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮-削除法が課していた36本の辺の制限を超えて、一般化臨界多項式を効率的に計算できるか？
• RQ2 確率的移行行列法は、未解決の格子に対して、従来の手法よりも高精度なpercolation閾値推定値を提供するか？
• RQ3 基底サイズが増加する際、予想通り基底の形状や埋め込みに依存しない閾値予測が可能か？
• RQ4 境界頂点数と内部要素数の比 $\zeta(n)$ が、閾値推定の収束速度に与える影響は？
• RQ5 同様の精度で、$P_B(p)$ の確率的定義をサイトpercolationおよび $q$-状態Pottsモデルに拡張できるか？

主な発見

• 移行行列法により、一般化臨界多項式を最大243次まで計算可能となり、従来の収縮-削除法の36本の制限を著しく超えた。
• (4,8²)格子では、$p_c = 0.676803329\cdots$ が得られ、最高精度のシミュレーション結果と一致した。
• kagome格子では、$p_c = 0.524404998\cdots$ と推定され、最先端の数値的シミュレーションと整合的であった。
• (3,12²)格子では、$p_c = 0.740420798\cdots$ という結果が、現在の数値的推定値と極めて良好に一致した。
• 境界頂点数と内部要素数の比 $\zeta(n)$ が基底サイズとともに急速に減少する場合、特にヘキサゴナル基底が正方形基底よりも収束が速い。
• 基底が大きくなり、適切に形状された場合、埋め込み方やアスペクト比に関係なく、臨界多項式の根が正確な閾値に収束するという予想が、結果によって裏付けられた。