[論文レビュー] Transfer matrix in scattering theory: A survey of basic properties and recent developments

Alí Mostafazadeh|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Quantum optics and atomic interactions被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非ユニタリな2レベル量子系を用いた1次元定常散乱理論の動的定式化を提示し、伝達行列をこの系の時間発展演算子に関連付ける。反射・透過振幅の正確な動的方程式を導出し、調整可能な一方向非可視ポテンシャルの構築を可能にするとともに、1モード逆散乱問題の正確な解を提供する。

ABSTRACT

We give a pedagogical introduction to time-independent scattering theory in one dimension focusing on the basic properties and recent applications of transfer matrices. In particular, we begin surveying some basic notions of potential scattering such as transfer matrix and its analyticity, multi-delta-function and locally periodic potentials, Jost solutions, spectral singularities and their time-reversal, and unidirectional reflectionlessness and invisibility. We then offer a simple derivation of the Lippmann-Schwinger equation and Born series, and discuss the Born approximation. Next, we outline a recently developed dynamical formulation of time-independent scattering theory in one dimension. This formulation relates the transfer matrix and therefore the solution of the scattering problem for a given potential to the solution of the time-dependent Schr\\"odinger equation for an effective non-unitary two-level quantum system. We provide a self-contained treatment of this formulation and some of its most important applications. Specifically, we use it to devise a powerful alternative to the Born series and Born approximation, derive dynamical equations for the reflection and transmission amplitudes, discuss their application in constructing exact tunable unidirectionally invisible potentials, and use them to provide an exact solution for single-mode inverse scattering problems. The latter, which has important applications in designing optical devices with a variety of functionalities, amounts to providing an explicit construction for a finite-range complex potential whose reflection and transmission amplitudes take arbitrary prescribed values at any given wavenumber.

研究の動機と目的

• 伝達行列および1次元散乱理論におけるその役割について、教育的導入を提供すること。
• ボーン級数のような標準的摂動的手法の限界を克服するため、摂動論的でない動的代替手法を導入すること。
• 光学素子設計への応用を想定し、正確で調整可能な一方向非可視ポテンシャルを構築するための枠組みを構築すること。
• 所望の反射・透過振幅を有する有限範囲の複素ポテンシャルを明示的に構築することで、1モード逆散乱問題を正確に解くこと。
• 共通の動的形式主義を通じて、スペクトル特異点、時間反転ラーサー、および一方向非可視性の理解を統合すること。

提案手法

• 時間に依存するハミルトニアンを有する非ユニタリな2レベル量子系の時間発展として1次元散乱を定式化する。
• ポテンシャルの伝達行列をこの有効2レベル系の時間発展演算子に写像する。
• 動的定式化を用いてボーン級数を回避する反射・透過振幅の正確な方程式を導出する。
• 動的方程式を用いて、特定の対称性制約下で正確な調整可能な一方向非可視性を達成するための条件を導出する。
• 所望の散乱振幅に対して動的方程式を解くことにより、1モード逆散乱問題の明示的解を構築する。
• 行列式が1である2×2行列の冪の恒等式を用いて、伝達行列の時間発展およびスペクトル特性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元散乱における伝達行列は、非ユニタリな2レベル量子系の時間発展演算子としてどのように解釈できるか？
• RQ2 この定式化における反射・透過振幅を支配する正確な動的方程式は何か？また、ボーン級数とはどのように異なるか？
• RQ3 この動的枠組みを用いて、特定の波数で正確に一方向非可視であるポテンシャルを構築できるか？
• RQ4 このアプローチを用いて1モード逆散乱問題を正確に解くにはどうすればよく、所与の散乱データに課される制約は何か？
• RQ5 スペクトル特異点およびその時間反転版（反ラーサー）は、この動的定式化において果たす役割は何か？

主な発見

• 短範囲ポテンシャルの伝達行列が、非ユニタリな2レベル量子系の時間発展演算子と等価であることが示され、散乱の新しい動的解釈が得られた。
• ボーン級数の摂動論的でない代替手法が導出され、反復的近似を用いずに散乱振幅の正確な計算が可能となった。
• 散乱振幅の動的方程式を特定の対称性制約下で解くことにより、正確で調整可能な一方向非可視性が達成された。
• 所望の値に一致する反射・透過振幅を持つ有限範囲の複素ポテンシャルを明示的に構築することにより、1モード逆散乱問題が正確に解かれた。
• 形式主義により、スペクトル特異点および時間反転スペクトル特異点（反ラーサー）が有効2レベル系のダイナミクスから自然に生じることが明らかになった。
• 行列式が1である2×2行列の冪の恒等式を用いて、伝達行列の冪の閉形式表現が導出され、周期的および多重デルタ関数ポテンシャルの正確な解析が可能となった。