[論文レビュー] Transfer of R-groups between p-adic inner forms of SL_n

Kwangho Choiy, David Theo Goldberg|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体$F$の内包形$SL_n(F)$から、分解型群$SL_n(F)$へのKnapp-Stein R群の転送を確立する。一般化されたJacquet-Langlands対応およびPlancherel測度の不変性を用いて、内包形のR群が分解型のR群に埋め込まれ、商が導来群の特徴群の部分群に同型であることを証明し、Arthurの予想に従いKnapp-Stein R群がArthurのエンドスコピックR群と同型であることも確認する。

ABSTRACT

We study the Knapp-Stein $R$--groups for inner forms of the split group $SL_n(F),$ with $F$ a $p$--adic field of characteristic zero. Thus, we consider the groups $SL_m(D),$ with $D$ a central division algebra over $F$ of dimension $d^2,$ and $m=n/d.$ We use the generalized Jacquet-Langlands correspondence and results of the first named author to describe the zeros of Plancherel measures. Combined with a study of the behavior of the stabilizer of representations by elements of the Weyl group we are able to determine the Knapp-Stein $R$--groups in terms of those for $SL_n(F).$ We show the $R$--group for the inner form embeds as a subgroup of the $R$--group for the split form, and we characterize the quotient. We are further able to show the Knapp-Stein $R$--group is isomorphic to the Arthur, or Endoscopic $R$--group as predicted by Arthur. Finally, we give some results on multiplicities and actions of Weyl groups on $L$--packets.

研究の動機と目的

• 特性がゼロの$p$-進体$F$における$SL_n(F)$の非分解内包形のKnapp-Stein R群の構造を理解すること。
• $D$を$F$上の中間除法代数とするとき、内包形$SL_m(D)$のR群が分解型群$SL_n(F)$のR群とどのように関係するかを特定すること。
• Knapp-Stein R群がArthurのエンドスコピックR群と同型であるかどうかを、Arthurの予想に従って検証すること。
• 内包形の臨界スペクトルにおける$L$-パケージ上でのWeyl群作用を分析し、重複度を特定すること。

提案手法

• GL_n(F)およびGL_m(D)のレヴィ部分群の$L$-パケージ間の一般化されたJacquet-Langlands対応を用いて、内包形上の表現を関連付ける。
• 第一著者のPlancherel測度の零点に関する結果を適用し、零点を示す根の集合が対応によって保存されることを示す。
• 表現上のWeyl群作用を用いて、$L$-パケージ内での表現$\sigma$の安定化部分群$W(\sigma)$を特徴付ける。
• $\bar{W}$を$\widetilde{\sigma}^\prime$を$\widetilde{M}^\prime/M^\prime$の特徴によるねじれで保存するWeyl群元の集合とするとき、$W(\sigma^\prime) \subset \bar{W}$を確立し、これとR群構造を関連付ける。
• 内包形$SL_m(D)$のR群が$SL_n(F)$のR群に埋め込まれ、商が$X_{M^\prime}(\phi)/X(\sigma^\prime)$の部分群に同型であることを証明する。
• すべての根$\beta$に対して$\mu_\beta(\sigma) = \mu_\beta(\sigma^\prime)$が成り立つこと、したがって$W^\prime_\sigma = W^\prime_{\sigma^\prime}$が成り立つことから、問題を安定化部分群の比較に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内包形$SL_m(D)$のKnapp-Stein R群は、分解型群$SL_n(F)$のR群とどのように関係するか？
• RQ2 一般化されたJacquet-Langlands対応は、R群を定義するPlancherel測度の零点を保存するか？
• RQ3 Knapp-Stein R群がArthurのエンドスコピックR群と同型であるかどうか、Arthurの予想に従うか？
• RQ4 内包形における$L$-パケージ上でのWeyl群作用の構造は何か？ そして重複度にどのように影響するか？
• RQ5 Weyl群における表現の安定化部分群は、Jacquet-Langlands対応下でのその上への特徴のねじれとどのように関係するか？

主な発見

• 内包形$SL_m(D)$のR群は、分解型群$SL_n(F)$のR群に部分群として埋め込まれ、商が$X_{M^\prime}(\phi)/X(\sigma^\prime)$の部分群に同型である。
• $\sigma^\prime$の安定化部分群$W(\sigma^\prime)$は、ある特徴$\eta \in (\widetilde{M}^\prime/M^\prime)^D$が存在して${}^w\widetilde{\sigma}^\prime \simeq \widetilde{\sigma}^\prime \otimes \eta$を満たすWeyl群元$w$の集合に対応し、R群構造と明確な関係を確立する。
• Plancherel測度の零点は一般化されたJacquet-Langlands対応によって保存されるため、$W^\prime_\sigma = W^\prime_{\sigma^\prime}$が成り立ち、R群の比較問題は$W(\sigma)$と$W(\sigma^\prime)$の比較に帰着される。
• 内包形のKnapp-Stein R群はArthurのエンドスコピックR群と同型であり、この設定におけるArthurの予想が確認された。
• $L$-パケージ$\Pi_\phi(M^\prime)$がシングルトンであるとき、対応する分解型および内包形上の表現のR群は同型である：$R_\sigma = R_{\sigma^\prime}$。
• Weyl群の$L$-パケージ上での作用は、Langlandsパラメータの特徴のねじれによって制御され、R群の構造は商$\bar{W}/W(\sigma^\prime)$を通じてこの作用を反映する。