[論文レビュー] Transfer operators and topological field theory

I. V. Ovchinnikov|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、確率微分方程式（SDE）の超対称的定式化を通じて、力学系における転送作用素と位相的場理論の間の厳密な関係を確立する。一般化された転送作用素（GTO）が有限時間のフォッカー・プランク作用素であることが示され、その鋭いトレースおよび行列式は超対称性によって自明化され、ウィッテン指数はオイラー特徴数に等しい。位相的超対称性（Q対称性）の自発的破れは、場理論的定義としての確率的カオスを示しており、バタフライ効果と長距離相関を説明する。

ABSTRACT

The transfer operator (TO) formalism of the dynamical systems (DS) theory is reformulated here in terms of the recently proposed supersymetric theory of stochastic differential equations (SDE). It turns out that the stochastically generalized TO (GTO) of the DS theory is the finite-time Fokker-Planck evolution operator. As a result comes the supersymmetric trivialization of the so-called sharp trace and sharp determinant of the GTO, with the former being the Witten index, which is also the stochastic generalization of the Lefschetz index so that it equals the Euler characteristic of the (closed) phase space for any flow vector field, noise metric, and temperature. The enabled possibility to apply the spectral theorems of the DS theory to the Fokker-Planck operators allows to extend the previous picture of the spontaneous topological supersymmetry (Q-symmetry) breaking onto the situations with negative ground state's attenuation rate. The later signifies the exponential growth of the number of periodic solutions/orbits in the large time limit, which is the unique feature of chaotic behavior proving that the spontaneous breakdown of Q-symmetry is indeed the field-theoretic definition and stochastic generalization of the concept of deterministic chaos. In addition, the previously proposed low-temperature classification of SDEs, i.e., thermodynamic equilibrium / noise-induced chaos ((anti)instanton condensation, intermittent) / ordinary chaos (non-integrability of the flow vector field), is complemented by the discussion of the high-temperature regime where the sharp boundary between the noise-induced and ordinary chaotic phases must smear out into a crossover, and at even higher temperatures the Q-symmetry is restored. The Weyl quantization is discussed in the context of the Ito-Stratonovich dilemma.

研究の動機と目的

• 確率的力学系に一般化された位相的場理論を可能にする、確率微分方程式（SDE）の厳密な超対称的定式化を確立すること。
• 無限小のリー微分による時間発展を導出し、SDEにおける Ito-Stratonovich の二択問題を解消すること。
• 位相的超対称性（Q対称性）の自発的破れとして、確率的カオスの場理論的定義を提供すること。
• フォッカー・プランク作用素に動的系のスペクトル定理を適用することで、決定論的および確率的カオスを統一する枠組みを構築すること。
• 低温におけるSDEの分類（平衡状態、ノイズ誘発カオス、通常のカオス）を、Q対称性が回復する高温領域にまで拡張すること。

提案手法

• 動的系の転送作用素形式を、SDEの超対称理論（STS）の観点から再定式化し、GTOが有限時間のフォッカー・プランク時間発展作用素であることを特定する。
• 微分形式のリー微分を用いて、無限小時間発展を導出し、確率的フローのベクトル場とノイズ基底ベクトルを用いる。
• Weyl-Stratonovichの作用素順序付け規則を適用して、Ito-Stratonovichの曖昧さを解消し、唯一この順序付けが一貫性のあるフォッカー・プランク方程式を導くことを示す。
• ノイズ平均化された引き戻しを用いた経路積分形式を用い、発展作用素をリー微分の指数関数として得ることで、フォッカー・プランク方程式と整合性を保証する。
• ウィッテン指数がGTOの鋭いトレースに等しいことを特定し、任意のフローのベクトル場、ノイズ計量、温度に対して、それが位相空間のオイラー特徴数に等しいことを証明する。
• フォッカー・プランク作用素が $δ$-正確であることを示し、動的系のスペクトル定理を確率過程へ応用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、超対称性を用いて、動的系の転送作用素形式を確率的過程へ一般化できるか？
• RQ2 確率的正準化の文脈において、フォッカー・プランク時間発展作用素の正しい作用素順序（Ito対比Stratonovich）は何か？
• RQ3 位相的超対称性（Q対称性）の自発的破れは、確率的力学系におけるカオスの場理論的定義として機能できるか？
• RQ4 ウィッテン指数は、確率的力学系における位相空間の位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 高温領域において、Q対称性が回復するとき、SDEの分類（平衡状態、ノイズ誘発カオス、通常のカオス）にはどのような変化が生じるか？

主な発見

• 動的系における一般化された転送作用素（GTO）は、Weyl-Stratonovich形式主義における有限時間のフォッカー・プランク時間発展作用素であると特定された。
• GTOの鋭いトレースはウィッテン指数として自明化され、フローのベクトル場、ノイズ計量、温度に依存せず、閉じた位相空間のオイラー特徴数に等しい。
• GTOの鋭い行列式は超対称性によって自明化され、インデックスの位相的不変性が確認された。
• Q対称性の自発的破れが、確率的カオスの場理論的定義であることが示され、バタフライ効果と長距離相関が説明された。
• リー微分とWeyl-Stratonovich順序付けを用いて導出されたフォッカー・プランク作用素は、明確に正しいものであり、Ito-Stratonovichの二択問題が解消された。
• 高温領域では、ノイズ誘発カオスと通常のカオスの境界が曖昧になり、クロスオーバーに移行し、Q対称性が回復する。これにより、SDEの相図が完全に完成した。