[論文レビュー] Transfer operators for $Γ_0(n)$ and the Hecke operators for the period functions for $PSL(2,Z)$

Joachim Hilgert, Dieter Mayer+1 more|ArXiv.org|Mar 20, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、合同部分群 $\Gamma_0(n)$ の転送作用素と、モジュラー群 $\Gamma = \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数に作用するヘッケ作用素との直接的な関係を確立する。$\Gamma_0(n)$ の転送作用素の特別な固有関数を、固有値 $\mp 1$ を持つように構成することで、著者らは、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数空間への線形作用素を導出し、それがアイヘラー–マニン–シムーラ対応によって得られるヘッケ作用素とちょうど一致することを示した。主な結果は、これらのヘッケ作用素が、ミューレンブルフおよびザギエが与えた既知の構成と一致する重み付き和としての行列 $S_n$ の和として実現可能であるということである。

ABSTRACT

In this article we report on a surprising relation between the transfer operators for the congruence subgroups $Γ_{0}(n)$ and the Hecke operators on the space of period functions for the modular group $\PSL (2,\mathbb{Z})$. For this we study special eigenfunctions of the transfer operators with eigenvalues $\mp 1$, which are also solutions of the Lewis equations for the groups $Γ_{0}(n)$ and which are determined by eigenfunctions of the transfer operator for the modular group $\PSL (2,\mathbb{Z})$. In the language of the Atkin-Lehner theory of old and new forms one should hence call them old eigenfunctions or old solutions of Lewis equation. It turns out that the sum of the components of these old solutions for the group $Γ_{0}(n)$ determine for any $n$ a solution of the Lewis equation for the modular group and hence also an eigenfunction of the transfer operator for this group.

研究の動機と目的

• 合同部分群 $\Gamma_0(n)$ の転送作用素と、モジュラー群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数に作用するヘッケ作用素との関係を調査すること。
• $\Gamma_0(n)$ のルイス方程式の解が、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の転送作用素の固有関数とどのように関係するかを理解すること。
• $\Gamma_0(n)$ のルイス方程式の特別な解に基づく新しい構成により、周期関数空間へのヘッケ作用素を実現すること。

提案手法

• $\Gamma_0(n)$ の転送作用素の固有値 $\mp 1$ を持つ固有関数を構成し、これらは $\Gamma_0(n)$ のベクトル値ルイス方程式の解である。
• アトキン–レーナー理論による古い形式と新しい形式の解釈を用い、これらの解を $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数から導かれる「古い」解とみなす。
• $\phi \mapsto \phi \mid_s \tilde{T}_n$ という作用を介して、周期関数上に線形作用素 $\tilde{H}_n$ を定義する。ここで $\tilde{T}_n = \sum_{A \in S_n, \gcd(a,b,c,d)=1} A$ である。
• $n_2 \mid n_1$ のとき、インデックス集合 $I_{n_1}$ と $I_{n_2}$ の間に、$\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$-作用に整合する標準的な全射写像 $\sigma_{n_1,n_2}$ を確立する。
• $\sigma_{n_1,n_2}$ のファイバー上での和をとることにより、$\Gamma_0(n_1)$ のルイス方程式の解が、$\Gamma_0(n_2)$ の解に誘導され、方程式の構造が保存されることを証明する。
• $T_n$ を $\tilde{T}_{n/d^2}$ のスケーリング版の和として導出し、$T_n = \sum_{d^2 \mid n} \begin{pmatrix} d & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \tilde{T}_{n/d^2}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合同部分群 $\Gamma_0(n)$ の転送作用素と、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数に作用するヘッケ作用素との関係は何か？
• RQ2 $\Gamma_0(n)$ のルイス方程式の解を用いて、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数空間へのヘッケ作用素を構成できるか？
• RQ3 行列 $\tilde{T}_n$ が $S_n$ の原始的行列の和として定義されるのと、標準的ヘッケ作用素 $T_n$ の間の明確な関係は何か？
• RQ4 $\tilde{T}_n$ と $T_n$ が一致する条件は何か、そしてそれは $n$ の算術的性質とどのように関係するか？
• RQ5 インデックス集合 $I_{n_1}$ と $I_{n_2}$ の間の標準的写像 $\sigma_{n_1,n_2}$ は、ルイス方程式の解の構造をどのように保存するか？

主な発見

• $\tilde{H}_n\phi = \phi \mid_s \tilde{T}_n$ で定義される線形作用素 $\tilde{H}_n$ は、任意の $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ のルイス方程式の解 $\phi$ を、同じ重み $s$ の別の解に写し、これにより $\tilde{H}_n$ が周期関数空間へのヘッケ作用素としての性質を持つことが示された。
• $\tilde{T}_n = \sum_{A \in S_n, \gcd(a,b,c,d)=1} A$ で定義される行列は、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数空間へのヘッケ作用素を生成し、標準的スラッシュ作用 $\mid_s$ を介して作用する。その作用はルイス方程式の解空間を保存する。
• ミューレンブルフおよびザギエが与えたヘッケ作用素 $T_n$ は、$T_n = \sum_{d^2 \mid n} \begin{pmatrix} d & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \tilde{T}_{n/d^2}$ を満たし、$\tilde{T}_n$ が $T_n$ の基本的構成要素であることが示された。
• $\tilde{T}_n$ と $T_n$ が一致するのは、$n$ が平方自由（相異なる素数の積）である場合に限る。
• $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数から $\sigma_{n_1,n_2}$ を介して構成された $\Gamma_0(n)$ のルイス方程式の解は、より小さいレベルに対しても一貫した解を誘導し、レベル間で一貫した持ち上げ機構が存在することが示された。
• この構成により、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の周期関数空間へのヘッケ作用素 $T_n$ が、$\Gamma_0(n)$ のルイス方程式の特別な解から得られることを示し、ヘッケ作用の動的系的実現が可能であることが明らかになった。