[論文レビュー] Transferring $A_\infty$ (strongly homotopy associative) structures

Martin Markl|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、連接複体間の連接ホモトピー同値に関して、$A_\infty$-構造、$A_\infty$-写像、$A_\infty$-ホモトピーを明示的かつ符号正確に転送するための公式を提供する。p-核とq-核を導入し、標的複体上の転送構造を構成する。既存の研究を一般化し、転送写像およびホモトピーのための新しい公式を提示する。ホッジ分解を用いた最小モデルへの応用も含む。

ABSTRACT

We give explicit formulas for transfers of $A_\infty$-structures and related maps and homotopies in the most easy situation in which these transfers exist. One half of our formulas was already known to Kontsevich-Soibelman and to Merkulov who derived them, without explicit signs, under slightly stronger assumptions than those made in this note.

研究の動機と目的

• 連接複体 $V$ に与えられた $A_\infty$-構造から、連接ホモトピー同値 $f: V \to W$, $g: W \to V$, $h: \text{id}_V \simeq gf$ を通じて、ホモトピー同値な複体 $W$ への $A_\infty$-構造の転送の明示的かつ符号正確な公式を提供すること。
• 写像 $f$ と $g$ をそれぞれ拡張する $A_\infty$-写像 $\varphi: V \to W$ と $\psi: W \to V$ への転送を拡張し、$h$ を拡張する $\psi \circ \varphi$ と $\text{id}_V$ 間の $A_\infty$-ホモトピー $H$ を構成すること。
• p-核とq-核を導入し、それらを転送構造を構成する中心的な道具として定義し、コンツェビッチ＝ソイベルマンおよびメルクォロフの先行研究を一般化すること。
• 転送公式とアソシアヘドロン $K_n$ およびマルチプリヘドロン $L_n$ の細分との関係を確立し、公式に現れる単項式の幾何的解釈を示唆すること。
• ホッジ分解を用いて $A_\infty$-代数の最小モデルを構成するための転送機構を応用し、分解の選択に依存するが関手的であることを示すこと。

提案手法

• p-核 $\{p_n: V^{\otimes n} \to V\}_{n \geq 2}$ とq-核 $\{q_n: V^{\otimes n} \to V\}_{n \geq 1}$ の帰納的および非帰納的公式を用いて転送を構成し、これらは再帰的または明示的に定義される。
• 複体 $W$ 上の転送された $A_\infty$-構造 $\nu_n$ は、$\nu_n = f \circ p_n \circ g^{\otimes n}$ で与えられ、元の $V$ 上の $A_\infty$-構造 $\mu_n$ を拡張する。
• $A_\infty$-写像 $\varphi_n: V^{\otimes n} \to W$ は $\varphi_n = f \circ q_n$ で定義され、$\psi_n: W^{\otimes n} \to V$ は $\psi_n = h \circ p_n \circ g^{\otimes n}$ で与えられる。
• $\psi \circ \varphi$ と $\text{id}_V$ 間の $A_\infty$-ホモトピー $H_n$ は $H_n = h \circ q_n$ で与えられ、$H_1 = h$ である。
• 公式はコールゲブラ摂動補題の枠組みを用いて導出され、側面条件（$f h = 0$, $h g = 0$, $h^2 = 0$）を満たす場合、p-核とq-核がヒーブシュマン＝カデイシュヴィリの結果と一致することが示される。
• 幾何的解釈として、転送公式に現れる単項式は、$p_n$ を通じてスターシェフのアソシアヘドロン $K_n$ のセルに対応し、$q_n$ を通じてマルチプリヘドロン $L_n$ のセルに対応する。$n=3,4$ の場合に具体的に図示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連接複体 $W$ が与えられた連接複体 $V$ と連接ホモトピー同値であるとき、$V$ に与えられた $A_\infty$-構造から $W$ 上への $A_\infty$-構造を明示的にどのように構成できるか？
• RQ2 $A_\infty$-写像 $\varphi: V \to W$ と $\psi: W \to V$ の明示的公式は何か？ これらはそれぞれ連接写像 $f$ と $g$ を拡張する。
• RQ3 $\psi \circ \varphi$ と $\text{id}_V$ 間の $A_\infty$-ホモトピー $H$ を、連接ホモトピー $h$ を拡張する形でどのように構成できるか？
• RQ4 転送公式に現れる単項式の幾何的意味は何か？ また、アソシアヘドロンやマルチプリヘドロンのような多面体セル分割とどのように関係するか？
• RQ5 転送機構を用いて $A_\infty$-代数の最小モデルを構成できるか？ また、この構成は関手的か？

主な発見

• 本稿は、$A_\infty$-写像 $\varphi_n$ および $A_\infty$-ホモトピー $H_n$ に対する、以前の一般性では未知であった新しい明示的かつ符号正確な公式を提供する。
• p-核 $p_n$ とq-核 $q_n$ は帰納的再帰（第3節）および非帰納的閉形式（命題6および7）で定義され、転送構造の体系的な計算を可能にする。
• 側面条件 $f h = 0$, $h g = 0$, $h^2 = 0$ が満たされる場合、p-核とq-核はコールゲブラ摂動補題から得られるものと一致し、構成の正当性が裏付けられる。
• 転送公式は、$p_n$ を通じてスターシェフのアソシアヘドロン $K_n$ のセルの和（$n=4$ および $n=3$ で明示的図示）として解釈される。
• ホッジ分解を用いて最小モデル $\mathcal{M}_A = (H(V,\partial_V), 0, \nu_2, \nu_3, \ldots)$ が構成され、その構成はこのような分解のグループイド上で関手的である。
• 側面条件が成り立つ場合、最小モデルの構成は摂動補題のアプローチと同値であり、p-核とq-核は摂動補題における関連する級数と特定される。