[論文レビュー] Transfers in coarse homology

Ulrich Bunke, Alexander Engel+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、G-有界粗空間の圏に有界被覆を介した移行射を追加することによって、等変粗ホモロジーへの移行を導入する。等変粗代数的K-ホモロジーと通常ホモロジーが移行を持つ理論へ拡張されることを確立し、有限群の場合にはそれらの理論がマックェイ関手を生じることを示す。主な貢献は、移行を用いたアセンブリーマップの単射性を示す幾何的技法であり、降下原理とソル部分群族に対する分解単射性の結果を用いて実証される。

ABSTRACT

We enlarge the category of bornological coarse spaces by adding transfer morphisms and introduce the notion of an equivariant coarse homology theory with transfers. We then show that equivariant coarse algebraic $K$-homology and equivariant coarse ordinary homology can be extended to equivariant coarse homology theories with transfers. In the case of a finite group we observe that equivariant coarse homology theories with transfers provide Mackey functors. We express standard constructions with Mackey functors in terms of coarse geometry, and we demonstrate the usage of transfers in order to prove injectivity results about assembly maps.

研究の動機と目的

• 有界被覆に対して移行射を含むように、等変粗ホモロジー理論を拡張すること。
• 移行を備えた普遍的な等変粗ホモロジー理論を構成すること。
• 粗い代数的K-ホモロジーと通常ホモロジーが移行を備えること。
• 有限群の場合に、このような理論がマックェイ関手を生じることを示すこと。
• 移行を用いて、粗い Baum-Connes予想の文脈でアセンブリーマップの単射性を証明すること。

提案手法

• G-有界粗空間の圏 GBornCoarsetr に、有界被覆を介したスパンを用いた移行射を追加することで拡張する。
• モチビックスペクトル圏 GSpXtr の普遍性を用いて、普遍的な移行理論を定義する。
• 特に無限集合に対して、G-集合上での有界被覆の包含写像の形式的和として移行を構成する。
• 等変モチーフの理論と安定∞-圏の理論を用いて、ホモロジー理論を新しい圏へ拡張する。
• 軌道圏と GFin および GOrb 上の層圏を用いてマックェイ関手をモデル化し、それらをアセンブリーマップと関連付ける。
• Elmendorfの定理とOliverの定理を用いて、分離族に対する分類空間のコンパクト性を確立し、分解単射性の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変粗代数的K-ホモロジーと通常ホモロジーは、移行射を持つ理論へ拡張可能か？
• RQ2 有限群の場合に、粗ホモロジーにおける移行はマックェイ関手とどのように関係するか？
• RQ3 どのような幾何的または圏論的条件が、アセンブリーマップが分解単射となることを保証するか？
• RQ4 移行を備えた普遍的な等変粗ホモロジー理論は、どのように構成可能か？
• RQ5 有界被覆とそれらに付随するスパンは、移行射を定義するために果たす役割は何か？

主な発見

• 等変粗代数的K-ホモロジーと粗い通常ホモロジーは、移行を備えた等変粗ホモロジー理論へ拡張可能である。
• 移行を備えた普遍的な等変粗ホモロジー理論は、Yos_tr : GBornCoarsetr → GSpXtr として構成される。
• 有限群の場合、移行を備えた等変粗ホモロジー理論は自然にマックェイ関手を生じる。
• 降下原理が確立され、関手がマックェイ関手に拡張可能であれば、関連するアセンブリーマップは分解単射であることが示された。
• 可解部分群族に対して、族が分離的であるという仮定の下で、アセンブリーマップが分解単射であることが示された。これはSolに対して成り立つ。
• 有限G-CW複体とElmendorfの定理を用いて、分離族（例：Sol）に対する EFG のコンパクト性が証明され、これにより単射性の結果が得られた。