[論文レビュー] Transfinite Asymptotic Dimension

Maciej Satkiewicz|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、無限順序数にまで拡張される漸近次元の一般化である超限漸近次元（trasdim）を導入し、その性質を研究する。3つの同等の定義——集合論的ランク、木のランク、次元ゲームにおける勝ち戦略——を確立し、漸近的性質Cがtrasdimが可算であることと同値であることを証明する。主な貢献は、漸近的性質Cが直積に関して閉じていることを示したことであり、未解決の問題を解決する。

ABSTRACT

Asymptotic property C for metric spaces was introduced by Dranishnikos as generalization of finite asymptotic dimension - asdim. It turns out that this property can be viewed as transfinite extension of asymptotic dimension. The original definition was given by Radul. We introduce three equivalent definitions, show that asymptotic property C is closed under products (open problem stated "Open problems in topology II") and prove some other facts, i.e. by defining dimension of a family of metric spaces. Some examples of spaces enjoying countable trasfinite asymptotic dimension are given. We also formulate open problems and state "omega conjecture", which inspired most part of this paper.

研究の動機と目的

• 超限順序数への漸近次元の形式的かつ一般化を図ること、超限漸近次元（trasdim）を導入すること。
• trasdimの3つの同等な定義を確立すること：(1) 部分集合族における集合論的ランク、(2) 良整順序木における木のランク、(3) 一次元ゲームにおける勝ち戦略。
• 漸近的性質Cがtrasdimが可算であることと同値であることの証明、および漸近的性質Cが直積に関して閉じていることの証明により、未解決問題を解決すること。
• 可算trasdimをもつ空間の構造を調査すること。これには例の提示と、単調性や有限和の最適次元境界といった未解決問題が含まれる。

提案手法

• trasdim(X) を、任意の i ∈ σ に対して、一様有界かつ i-非交差被覆が存在しないような有限集合 σ ⊆ ℕ の集合 A(X,d) の順序数ランクとして定義する。
• Kleene-Brouwer順序を用いて良整順序性を保証し、順序数ランクの一貫性を確保することで、集合論的ランク定義と木のランク定義の同値性を確立する。
• 次元ゲームを2人ゲームとしてモデル化し、プレイヤーIが半径を選択し、プレイヤーIIが r-非交差族で空間を被覆する。trasdimは、プレイヤーIIが勝つ最小の順序数として定義される。
• 3つの定義の同値性を用いて、空間が漸近的性質Cをもつことと、そのtrasdimが可算順序数であることとが同値であることを証明する。
• 漸近的和と適切な空間の概念を用いて、問題を有限次元の場合に還元し、trasdimに関する帰納的議論を可能にする。
• ω予想と関連仮説を用いて、特に無限積や和の文脈において、trasdim ω 以上の空間の構造を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的性質Cは直積に関して閉じているか？（本論文で肯定的に解決された。）
• RQ2 任意の可算順序数 α に対して、それがある距離空間の trasdim として実現可能か？（未解決問題、部分的に解決された。）
• RQ3 単調性は成り立つか：任意の α と β < α に対して、trasdim が α である任意の空間が、trasdim が β である部分空間を含むか？（未解決問題。）
• RQ4 有限個の適切な距離空間の和の trasdim の最適境界は何か？（未解決問題、部分的な結果あり。）
• RQ5 trasdim ≥ ω である任意の空間について、trasdim は正確に ω に等しいか？（ω予想、中心的仮説として提唱された。）

主な発見

• 超限漸近次元（trasdim）は適切に定義されており、A(X,d) の順序数ランクに等しく、これは有限で一様有界かつ i-非交差被覆が存在しないことの失敗を捉えている。
• trasdimの3つの定義は同等である：(1) 部分集合族における集合論的ランク、(2) 良整順序木における木のランク、(3) 一次元ゲームにおける勝ち戦略。
• 距離空間が漸近的性質Cをもつことと、そのtrasdimが可算順序数であることとは同値であり、これによりtrasdimとこの漸近的性質との直接的な関連が確立される。
• 漸近的性質Cは有限および無限の直積に関して閉じており、[Pearl]で提起された未解決問題が解決される。
• ω予想が提唱される：もし trasdim X ≥ ω ならば、trasdim X = ω である。これは、非可算なtrasdimをもつ空間はすべて無限次元である可能性を示唆する。
• 例えばスケーリングされた整数格子の漸近的和として、trasdim ω をもつ空間の例が構成され、ω+1 やそれ以上の高い順序数が実現されにくいことの直感的説明が提示される。