[論文レビュー] Transformation Acoustics in Generic Elastic Media

L. Bergamin|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Metamaterials and Metasurfaces Applications参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、弾性テンソルの固有テンソルとモジュラスを用いて弾性波動方程式を再定式化することで、任意の弾性媒体における一般化された変換弾性工学フレームワークを構築した。これにより、スカラーでない波動系に対する変換ベースの設計が可能になった。主な貢献は、スカラーモードを超えて完全なテンソリアル波動方程式への変換弾性工学の最初の適用であり、剪切モードがゼロである異方性流体に対する実現可能なクローキング解が得られたことである。

ABSTRACT

In this work a transformation acoustics scheme for generic elastic media is developed. Our approach starts form the decomposition of the elasticity tensor in terms of its eigentensors, an idea previously used by Norris. While Norris' transformation acoustics is restricted to the special class of so-called pentamode materials, we show that a similar scheme can be defined for the most general elasticity tensor. As in case of Norris' model (and in sharp contrast to transformation optics), the compatibility equations of the transformation medium are not purely algebraic and it is not guaranteed that solutions to these equations exist for any choice of material parameters and coordinate transformation. Nonetheless, it is shown that our scheme yields new cloaking solutions for certain classes of materials. In particular, we present the first application of a transformation based device for a non-scalar wave equation outside of the field of electromagnetics.

研究の動機と目的

• スカラー波動方程式を超えて、任意の弾性テンソルを有する一般弾性媒体への変換弾性工学の拡張を目的とする。
• 電磁気学とは異なり、弾性力学はプリミティブでないため、標準的な変換光学会が適用できないという課題に対処すること。
• 座標変換下での弾性媒体における整合性のある材料パラメータを系統的に導出する方法を開発すること。
• 圧力モードが3つで剪切モードが存在しない材料、例えば異方性流体における変換ベースのクローキングの実現可能性を示すこと。
• 固有テンソルに関する可換性条件に還元可能なメトリック依存性を最小限に抑える、弾性波動方程式の再定式化を提供すること。

提案手法

• 弾性テンソルの固有値分解を用いて、弾性波動方程式を固有テンソルと関連するモジュラスに基づいて再定式化する。
• スカラー位相 $ p_I $ を用いた6つの結合されたスカラー波動方程式の系として波動方程式を表現し、Helmholtz方程式に類似させる。
• 各スカラー方程式に座標変換を適用し、スカラー波動に対する既知の変換弾性工学スキームを活用する。
• 変換された媒質の整合性を保証するための固有テンソル $ \bm{S}_I $ とモジュラス $ K_I $ のための可換性条件を導出する。
• 変換されたメトリクスと元のメトリクスにおける固有テンソルの発散を関連付ける変換行列 $ \bm{U} $ を用い、可換関係を保存する。
• 特に円柱座標および球座標における径方向変換について、特定の幾何形状に対して非代数的可換性方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変換弾性工学は、スカラー波動方程式から弾性媒質におけるテンソリアル波動方程式へ一般化可能か？
• RQ2 変換媒質が存在するための、弾性テンソルの固有テンソルおよびモジュラスに必要な可換性条件は何か？
• RQ3 ペンタモードやスカラー波動の極限を超えて、弾性媒質における変換ベースのクローキングが成立する材料的条件は何か？
• RQ4 弾性力学におけるメトリック依存性を系統的に低減し、変換ベースの設計を可能にするにはどうすればよいか？
• RQ5 変換弾性工学は、弾性メタマテリアルと通常の弾性媒質との間で反射のない界面を実現できるか？

主な発見

• 本稿は、弾性テンソルを固有テンソルとモジュラスに分解することで、一般弾性媒質への変換弾性工学の一般化に成功し、波動方程式を結合されたスカラー方程式の系に再定式化した。
• 変換媒質のための可換性方程式は非代数的であり、空間的メトリックに依存しており、すべての材料パラメータと変換に対して解が存在するとは限らないことを示している。
• 円柱座標および球座標における径方向変換に対して、圧力モードが3つで剪切モードがゼロである材料、例えば異方性流体に対してクローキング解が導出された。
• 球対称および円筒対称のクローキングに対して変換スキームが妥当性を確認され、材料パラメータが変換行列 $ \bm{U} $ を通じて計算可能であり、発散条件と整合的であることが示された。
• 本手法は、電磁気学を除く非スカラー波動方程式への変換弾性工学の最初の現実的応用を提供し、その適用範囲を著しく拡大した。
• 結果から、可換性条件が満たされる限り、変換弾性工学は多様な弾性メタマテリアルの設計に強力なツールとなる可能性があると示唆された。