[論文レビュー] Transformation de Fourier generalisee

Gérard Laumon|ArXiv.org|Mar 5, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、一般化された1モチーフ上のDモジュールに対する一般化されたフーリエ変換を導入する—古典的フーリエ＝ムカイ、メリン、Dモジュールフーリエ変換を拡張するもので、自然拡張の空間に代数的構造を賦与し、Dモジュールとこの双対空間上の複体の間の函手的対応を構成する。主な貢献は、Dモジュールのコホロロジー的データから再構成可能な完全忠実な逆フーリエ変換であり、複数の古典的変換を一つの枠組みで統一する。

ABSTRACT

In this paper I construct a geometric transformation for generalized 1-motives which extends the Fourier-Mukai transformation for O-Modules on abelian varieties, the geometric Fourier transformation for D-Modules on vector spaces and the geometric Mellin transformation for D-Modules on tori. In particular, I construct an equivalence of triangulated categories between the derived category of quasi-coherent D-Modules on an abelian variety and the derived category of quasi-coherent O-Modules on the universal extension of the dual abelian variety. This equivalence has also been obtained by Mitchell Rothstein.

研究の動機と目的

• 代数群上のDモジュールに対して、古典的フーリエ変換（フーリエ＝ムカイ、メリン、Dモジュールフーリエ）を統合する一般化された枠組みを構築すること。
• Dモジュールのコホロロジー的データから再構成可能な一般化されたフーリエ変換を定義し、自然拡張の双対空間を用いること。
• 1モチーフおよびカルティエ双対性の理論を、ベクトル的およびトーリック成分を含めるように拡張し、混合型代数群上のDモジュールの統一的取り扱いを可能にすること。
• 一般化されたフーリエ変換に対する函手的逆変換を構成し、Dモジュールの変換データから完全に再構成できることを保証すること。
• 特にリーマン面上の自動形式層に対して、幾何的ラングランズプログラムの文脈におけるフーリエ変換の幾何的・代数的基盤を提供すること。

提案手法

• 一般化された1モチーフ $G$ の $\natural$-拡張 $G^\natural$ の空間を定義し、これは ${\cal O}_G$-加群で、一般化された平方の定理を満たす接続を持つものである。
• $G^\natural$ に代数的構造（一般化された1モチーフ）を賦与し、フーリエ変換の双対空間として機能させる。
• フーリエ変換を、$({\cal L},\nabla) \otimes_{\cal O_G} \cal M$ のde Rham複体を用いて、$G$ 上のDモジュール $\cal M$ から $G^\natural$ 上の層複体への函手 $\cal F(M)$ として構成する。
• 双対化複体を含む自然同型を用いて、変換の函手性および基底変換、射影、双対性との整合性を確立する。
• 一般化された1モチーフ上の準連接および連接Dモジュールの理論を用いて、変換が本質的な代数的・幾何的性質を保つことを保証する。
• 双対性同型を用いて準逆変換の存在を証明し、特別な場合（アーベル多様体、ベクトル空間、トーラス）における標準的フーリエ変換と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの一般化されたフーリエ変換が、代数群上の古典的フーリエ＝ムカイ、メリン、Dモジュールフーリエ変換を統合できるか？
• RQ2 一般化された1モチーフの $\natural$-拡張の空間に、双対空間として機能する代数的構造をどのように賦与できるか？
• RQ3 $(\cal L,\nabla) \in G^\natural$ に対するコホロロジー的データ $R\Gamma(G, \mathrm{DR}(({\cal L},\nabla) \otimes_{\cal O_G} {\cal M})))$ が、元のDモジュール $\cal M$ をどの程度決定するか？
• RQ4 Dモジュールのフーリエ変換とその双対の間の正確な双対性同型は何か？ そして、既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ5 一般化された変換は、基底変換および一般化された1モチーフ間の準同型に関してどのように振る舞うか？

主な発見

• 一般化されたフーリエ変換 $\cal F(M)$ は完全忠実であり、$G^\natural$ 上の変換されたコホロロジー的データから元のDモジュール $\cal M$ を再構成可能である。
• 変換はアーベル多様体上の古典的フーリエ＝ムカイ変換およびベクトル空間上の標準的フーリエ変換を拡張し、これらを一つの枠組みに統合する。
• $M = [0 \to A]$ の場合、アーベル多様体とその双対の双対性を通じて、古典的フーリエ＝ムカイ同値が回復される。
• $M = [0 \to V]$ の場合、変換は $D_V$-モジュール上の標準的フーリエ変換に帰着し、$\cal F' \circ \cal F \cong \langle -1 \rangle^!$ を満たす。
• 双対化複体の同型を用いて、$\omega_M$ とシフトを含む整合性が確立され、グロテンディーク双対性と整合する。
• 逆変換は双対性ファンクターを用いて明示的に構成され、$D' \circ \cal F \cong \langle -1 \rangle^! \circ \cal F \circ D \otimes \omega_{M}^{\otimes 3}[d_G - d_{\cal G} - r_{\cal G} + 2d_{G'}]$ を満たす。これは既知の双対性結果を一般化する。