[論文レビュー] Transformation of the linear difference equation into a system of the first order difference equations

M. I. Ayzatsky|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

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ひとこと要約

本稿では、N次線形差分方程式を等価な1階差分方程式の連立系に変換するための新規な変換手法を提示する。この手法により、非線形な2階差分方程式（3次方程式の場合のリッカティ方程式に類似）といった新たな解析的形が得られ、係数が緩やかに変化する場合のWKB近似が可能になる。

ABSTRACT

The transformation of the Nth- order linear difference equation into a system of the first order difference equations is presented. The proposed transformation gives possibility to get new forms of the N-dimensional system of the first order equations that can be useful for analysis of the solutions of the Nth- order difference equations. In particular, for the third-order linear difference equation the nonlinear second-order difference equation that plays the same role as the Riccati equation for second-order linear difference equation is obtained. The new form of the N-dimensional system of first order equations can be also used for finding the WKB solutions of the linear difference equation with coefficients that vary sufficiently slowly with index.

研究の動機と目的

• 高次線形差分方程式を1階方程式の連立系に体系的に変換するための手法を開発すること。
• 得られた1階連立系の新たな解析的形を同定し、解の解析を簡略化すること。
• WKB法の適用範囲を係数が緩やかに変化する線形差分方程式に拡張すること。
• 3次線形方程式に対して、リッカティ方程式に類似した非線形2階差分方程式を導出すること。
• 1階連立系の定式化を通じて、N次線形差分方程式の解を研究するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 変数変換を用いて、N次差分方程式をN個の1階差分方程式の連立系に表現する。
• 元の数列の連続する差分を表す補助変数を導入する。
• 得られた連立系は行列形式で表現され、標準的な線形代数的手法による解析が可能になる。
• 3次方程式の場合、変数を消去することで非線形2階差分方程式が得られる。
• WKB型漸近近似を用いて、係数が緩やかに変化する場合の解析を拡張する。
• 変換は元の方程式の解空間を保存しつつ、新たな解析的ツールを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N次線形差分方程式を体系的に1階方程式の連立系に変換できるか？
• RQ2 この変換によって、特に3次方程式の場合にどのような新たな解析的形が生じるか？
• RQ3 この変換により、リッカティ方程式に類似した非線形2階差分方程式を導出できるか？
• RQ4 変換された連立系は、係数が緩やかに変化する場合にWKB近似法を適用可能か？
• RQ5 1階連立系表現は、元の高次方程式に比べて、構造的・解析的にどのような利点を有するか？

主な発見

• 変換は任意のN次線形差分方程式を、等価なN個の1階差分方程式の連立系に成功して変換する。
• 3次線形差分方程式の場合、リッカティ方程式に類似した役割を果たす非線形2階差分方程式が得られる。
• 得られた1階連立系は、係数が緩やかに変化する方程式に対し、WKB近似技術の適用を可能にする。
• 変換は解空間を保存しており、元の方程式と変換後の連立系との等価性が保たれる。
• 新たな連立系の定式化により、安定性、漸近的挙動、解構造の解析のための代替的アプローチが得られる。
• 本手法は、1階連立系の手法を高次線形差分方程式に体系的に拡張するためのフレームワークを提供する。