[論文レビュー] Transformation Optics and the Geometry of Light

Ulf Leonhardt, T. G. Philbin|ArXiv.org|May 30, 2008

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 10被引用数 53

ひとこと要約

本稿は、微分幾何学を用いて、所望の光路を人工的時空幾何にマッピングすることにより、光学的性質を調整可能な電磁気的材料を設計するための枠組みとして変換光学を導入する。有効な計量テンソルを通じて曲がった時空におけるマクスウェル方程式を活用することで、著者たちはメタマテリアルが非局所的光学素子、例えば透明クローザーや完全レンズを実現できることを示し、一般相対性理論の幾何学的形式的記述が、光学における波フロントの制御を工学的に行う強力なツールであることを示している。

ABSTRACT

Metamaterials are beginning to transform optics and microwave technology thanks to their versatile properties that, in many cases, can be tailored according to practical needs and desires. Although metamaterials are surely not the answer to all engineering problems, they have inspired a series of significant technological developments and also some imaginative research, because they invite researchers and inventors to dream. Imagine there were no practical limits on the electromagnetic properties of materials. What is possible? And what is not? If there are no practical limits, what are the fundamental limits? Such questions inspire taking a fresh look at the foundations of optics and at connections between optics and other areas of physics. In this article we discuss such a connection, the relationship between optics and general relativity, or, expressed more precisely, between geometrical ideas normally applied in general relativity and the propagation of light, or electromagnetic waves in general, in materials. We also discuss how this connection is applied: in invisibility devices, perfect lenses, the optical Aharonov-Bohm effect of vortices and in analogues of the event horizon.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の幾何学的形式的記述と材料内における電磁波の伝播を結びつける理論的枠組みを確立すること。
• メタマテリアルを用いて光のための人工的幾何を設計し、それにより新しい光学素子を実現する方法を示すこと。
• 変換光学が、電磁クローザー、レンズ、波ガイドを設計するための統一的かつ洗練されたアプローチを提供することを示すこと。
• 相対論的四階テンソル形式のマクスウェル方程式を用いて、プレバンスキーの構成方程式を導出し、検証すること。
• 微分幾何学を通じて、ファーマーの原理のような基礎的光学概念と現代のメタマテリアルを橋渡しすること。

提案手法

• 一般計量テンソル $ g_{\mu\nu} $ を用いて、電磁場が有効な幾何に従って伝播するとして、曲がった時空におけるマクスウェル方程式を定式化する。
• 材料の性質（誘電率と透磁率）が光路長や波動伝播に与える影響を記述するため、有効計量テンソル $ g_{\mu\u} $ を導入する。
• 4次元のリーマン・クリヴォツァのテンソルと双対電磁場テンソルを用いて、$ \mathbf{D}, \mathbf{H} $ と $ \mathbf{E}, \mathbf{B} $ の間の構成関係を計量成分の関数として導出する。
• 計量に基づく形式からプレバンスキーの構成方程式を導出し、$ \mathbf{D} $ と $ \mathbf{H} $ が有効時空幾何の逆計量および空間成分を介して表現されることを示す。
• 座標変換を適用して光線が所望の軌道に従うようにし、クローキングやレンズ素子の設計を可能にする。
• 不均一な媒質内での電磁波伝播と、曲がった時空内での光の伝播の間の同等性を活用し、光学的問題を幾何学的問題にマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論の原則を、光を任意に制御できる材料の設計に応用する方法は何か？
• RQ2 不均一媒質内での電磁波伝播と、曲がった時空内での光の伝播の間の数学的対応関係は何か？
• RQ3 変換光学は、電磁クローザーと完全レンズを統合的に設計するための統一的枠組みを提供できるか？
• RQ4 マクスウェル方程式の幾何的形式から、電磁媒質の構成関係はどのように導かれるか？
• RQ5 有効計量テンソルは、メタマテリアルの光学的応答を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、曲がった時空におけるマクスウェル方程式の相対論的形式からプレバンスキーの構成方程式を導出し、材料の性質が有効計量の幾何から生じることを示している。
• 不均一かつ異方的媒質が、光線が計量テンソルの測地線に従う有効時空幾何として記述可能であることを示している。
• 形式的記述により、電磁クローキングと完全レンズ効果が、光路を曲がった幾何にマッピングする座標変換から自然に生じることが明らかになった。
• 著者たちは、同じ幾何的枠組みが不透明クローザーと完全レンズの両者を統一的に説明できることを示し、これらは一見異なるように見える素子を共通の原理に統合している。
• 導出結果により、メタマテリアルの有効計量テンソル $ g_{\mu\nu} $ の成分を設計することで、任意の電磁的応答を実現できることが確認された。
• 理論により、所望の光路を指定し、逆計量を用いて必要な材料パラメータを求めるという、光学素子を体系的に設計する手法が提供された。