[論文レビュー] Transformation Semigroups with the Deformed Multiplication

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|Aug 20, 2005

semigroups and automata theory参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限逆対称半群 𝒮ₙ、有限対称半群 𝒯ₙ、およびバイシクル半群 ℬ に、リャピンの変形乗法 x *ₐ y = xay を適用して得られる、対ごとに同型でない半群を分類する。主な結果は、同型型が 𝒮ₙ に対してはランク、𝒯ₙ に対しては変換型、ℬ に対しては要素パラメータによって完全に決定されることであり、ℬ からの変形によって無限個の同型でない半群が生じることである。

ABSTRACT

Pairwise non-isomorphic semigroups obtained from the finite inverse symmetric semigroup $\mathcal{IS}_n ,$ finite symmetric semigroup $\mathcal{T}_n$ and bicyclic semigroup by the deformed multiplication proposed by Ljapin are classified.

研究の動機と目的

• 有限逆対称半群 𝒮ₙ にリャピンの変形乗法 x *ₐ y = xay を適用して得られるすべての対ごとに同型でない半群を分類すること。
• 同じ変形乗法を用いて、有限対称半群 𝒯ₙ に対しても分類を拡張すること。
• バイシクル半群 ℬ に変形乗法を適用した結果得られる半群を解析・分類し、同型および反同型の条件を確立すること。

提案手法

• 𝒮ₙ に対して、(𝒮ₙ, *ₐ) におけるイデムポテンの数が 2^rank(α) に等しいことが示され、イデムポテンと ran(α) の部分集合との間に一対一対応が確立される。
• 𝒮ₙ に対して、rank(α) = rank(β) のとき、置換 τ と π を用いて β = ταπ と表せる場合、(𝒮ₙ, *ₐ) と (𝒮ₙ, *ᵦ) の間に明示的な同型写像 f(ξ) = π⁻¹ξτ⁻¹ が構成される。
• 𝒯ₙ に対して、(𝒯ₙ, *ₐ) の同型型が変換 a のタイプにのみ依存することが示され、これは各像のサイズの度数を表す多重集合 (α₁, ..., αₙ) で定義される。
• ℬ に対して、イデムポテンの構造が εᵢ = b^{k+i}a^{m+i} を用いて分析され、ε₀ が最大となる線形順序集合をなすことが示される。
• Pᵢ^α ∩ Qᵢ^α の濃度が (k+i)(m+i) に等しいことが計算され、これは α = b^m a^k のパラメータ k と m を一意に特定する。
• 反同型に関して、写像 φ(b^x a^y) = b^y a^x が (ℬ, *ₐ) と (ℬ, *ᵦ) の間で反同型を定めることが示され、これは α と β が互いに逆元である場合に限る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの半群 (𝒮ₙ, *ₐ) と (𝒮ₙ, *ᵦ) が変形乗法のもとでいつ同型になるか？
• RQ2 (𝒯ₙ, *ₐ) における同型を決定する変換タイプの不変量は何か？
• RQ3 二つの変形バイシクル半群 (ℬ, *ₐ) と (ℬ, *ᵦ) がいつ同型または反同型になるか？
• RQ4 ℬ 内の α = b^m a^k のパラメータは、変形半群 (ℬ, *ₐ) の構造から再構成可能か？
• RQ5 変形乗法はこれらの半群におけるイデムポテンの構造およびグリーンの関係にどのように影響するか？

主な発見

• (𝒮ₙ, *ₐ) と (𝒮ₙ, *ᵦ) が同型であるための必要十分条件は rank(α) = rank(β) であり、これにより 𝒮ₙ からちょうど (n+1) 個の対ごとに同型でない半群が得られる。
• 𝒯ₙ に対しては、(𝒯ₙ, *ₐ) と (𝒯ₙ, *ᵦ) が同型であるための必要十分条件は、a と b が同じ変換タイプを持つこと、すなわち像のサイズの度数が等しいことである。
• バイシクル半群 ℬ において、変形半群 (ℬ, *ₐ) は、α = b^m a^k の各異なる対 (m,k) に対して無限個の同型でない実現を有する。
• |Pᵢ^α ∩ Qᵢ^α| = (k+i)(m+i) が成り立ち、これは α = b^m a^k のパラメータ k と m を一意に特定する。これにより、同型が成立するならば α = β であることが示される。
• 半群 (ℬ, *ₐ) が (ℬ, *ᵦ) と反同型であるための必要十分条件は、β が ℬ 内で α の逆元であること、すなわち α = b^m a^k のとき β = b^k a^m であることである。
• (ℬ, *ₐ) のイデムポテンの集合は、εᵢ ≤ εⱼ が i ≥ j と同値であるという順序により線形順序をなし、ε₀ = b^k a^m が唯一の最大イデムポテンである。