[論文レビュー] Transformation theory and Christoffel formulas for matrix biorthogonal polynomials on the real line

Carlos Álvarez-Fernández, Gerardo Ariznabarreta+3 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 57被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ガウス＝ボレル分解とスペクトル／非スペクトル的手法を用いて、実直線上の行列双直交多項式に対する変換理論およびクリスティオフェル型公式を開発する。ジェロニムス、ジェロニムス＝ウアロフ、ウアロフ変換の明示的公式を導出し、摂動された多項式およびノルムの計算を可能にする。非アーベル2次元Todaおよび非可換KP階層への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper transformations for matrix orthogonal polynomials in the real line are studied. The orthogonality is understood in a broad sense, and is given in terms of a nondegenerate continuous sesquilinear form, which in turn is determined by a quasidefinite matrix of bivariate generalized functions with a well defined support. The discussion of the orthogonality for such a sesquilinear form includes, among others, matrix Hankel cases with linear functionals, general matrix Sobolev orthogonality and discrete orthogonal polynomials with an infinite support. The first transformation considered is that of Geronimus type, two different methods are developed. A spectral one, based on the spectral properties of the perturbing polynomial, and constructed in terms of the second kind functions. Then, using spectral techniques and spectral jets, Christoffel-Geronimus formulas for the transformed polynomials and norms are presented. For this type of transformations, the paper also proposes an alternative method, which does not require of spectral techniques. A discussion on matrix spectral linear transformations is presented, as well. These transformations can be understood as rational perturbations of the matrix of bivariate generalized functions together with an addition of appropriate masses, determined these last ones by the spectral properties of the polynomial denominator. As for the Geronimus case, two techniques are applied, spectral and mixed spectral/nonspectral. Christoffel--Geronimus--Uvarov formulas are found with both approaches and some applications are given. The transformation theory is finally discussed in the context of the 2D non-Abelian Toda lattice and noncommutative KP hierarchies, understood as the theory of continuous transformations of quasidefinite sesquilinear forms. This approach allows for the finding of perturbed quasitau and Baker matrices.

研究の動機と目的

• 一般の準定値セミ内積に対する実直線上の行列双直交多項式に対する包括的な変換理論の構築。
• 元の多項式を用いて摂動された行列双直交多項式およびそのノルムを表すクリスティオフェル型公式の導出。
• 行列直交多項式の変換と可積分階層（特に非アーベル2次元Todaおよび非可換KP階層）との関係の確立。
• 特異な先頭係数を伴う場合を含む、行列多項式の摂動を扱うスペクトル的および非スペクトル的手法の提供。
• 行列設定における既存の線形スペクトル変換（クリスティオフェル、ジェロニムス、ウアロフ型）の統一と拡張。

提案手法

• 変換公式を導出する中心的な代数的道具として、グラム行列のガウス＝ボレル分解を用いる。
• 特に先頭係数が正則である場合に有効な、行列多項式のスペクトル的性質に基づくスペクトル的手法を適用。
• 特異な先頭係数に対しても有効な非スペクトル的手法を導入し、ユニモジュラーおよび一般の行列多項式摂動の取り扱いを可能にする。
• スペクトルジェットとクリスティオフェル＝ダービュー核を用いて、変換された多項式および第二種関数を表現。
• 輪郭積分とコーシー型公式を用いて、ベイカー関数、双直交多項式、τ比行列関数を含む双線形恒等式を導出。
• 離散的ソボレフ行列直交多項式や一次多項式による行列ホドオグラフィック摂動といった特定のケースへの理論の適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の準定値セミ内積の下で、クリスティオフェル型公式はどのように行列双直交多項式へ一般化可能か？
• RQ2 摂動行列多項式の先頭係数が特異である場合、ジェロニムス型変換を計算するスペクトル的および非スペクトル的手法は何か？
• RQ3 ジェロニムス＝ウアロフおよびウアロフ変換は、行列双直交多項式の構造およびそのノルムにどのように影響を与えるか？
• RQ4 行列多項式摂動の下で対称性を保つために、余因子および準行列式が果たす役割は何か？
• RQ5 これらの行列直交多項式変換は、非アーベル2次元Todaおよび非可換KP階層といった可積分系とどのように関係するか？

主な発見

• 先頭係数が正則である行列多項式に対して、スペクトル的手法を用いてクリスティオフェル＝ジェロニムス公式を導出。摂動された多項式および第二種関数は、スペクトルジェットを用いて表現される。
• 特異な先頭係数に対しても適用可能な非スペクトル的手法を開発し、ユニモジュラークリスティオフェル摂動の取り扱いを可能にする。
• ユニモジュラー行列多項式に対しては、質量ゼロの一次多項式によるジェロニムス変換の簡単な例を提示。この公式の適用可能性を示す。
• ジェロニムス＝ウアロフ変換に対して、スペクトル的および非スペクトル的混合公式を導出し、対称的およびホドオグラフィック摂動への応用を含む。
• クリスティオフェル＝ウアロフ公式は、クリスティオフェル＝ダービュー核のスペクトルジェットを用いて確立され、摂動されたノルムおよび多項式の明示的計算が可能になる。
• ベイカー関数、双直交多項式、τ比行列関数を含む双線形恒等式を証明。ミワシフトおよびサトウの公式を介して、変換理論と可積分系を結びつける。