[論文レビュー] Transformations between attractors of hyperbolic iterated function systems

Michael F. Barnsley|ArXiv.org|Mar 14, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コード空間構造とフラクタルトップを用いて、双曲的反復関数系（IFS）の吸引子間のフラクタル変換を導入する。コード空間の1つが他方の部分集合であるとき、連続的な変換が最初の吸引子を2番目の吸引子へ写像することを証明しており、コード空間が同一である場合には変換がホメオモルフィズムであることが示され、その結果、ホメオモルフィックなIFS吸引子は同じ位相的エントロピーを持つことを示している。

ABSTRACT

This paper is in the form of an essay. It defines fractal tops and code space structures associated with set-attractors of hyperbolic iterated function systems (IFSs). The fractal top of an IFS is associated with a certain shift invariant subspace of code space, whence the entropy of the IFS, and of its set-attractor, may be defined. Given any ordered pair of hyperbolic IFSs, each with the same number of maps, there is a natural transformation, constructed with the aid of fractal tops, whose domain is the attractor A of the first IFS and whose range is contained in the attractor B of the second IFS. This transformation is continuous when the code space structure of the IFS is "contained in" the code space structure of the second IFS, and is a homeomorphism between A and B when the code space structures are the same. Conversely, if two IFS are homeomorphic then they possess the same code space structure. Hence we obtain that two IFS attractors are homeomorphic then they have the same entropy. Several examples of fractal transformations and fractal homeomphisms are given.

研究の動機と目的

• フラクタルトップとコード空間不変性を用いて、双曲的IFS吸引子間の自然な変換を定義すること。
• このような変換が連続的またはホメオモルフィズムである条件を確立すること。
• IFS吸引子の位相的エントロピーとその背後にあるコード空間構造との関連を提示すること。
• コード空間上のシフトダイナミクスを通じて、位相的エントロピーの幾何的解釈を提供すること。
• ホメオモルフィックなIFS吸引子は同一のコード空間構造を持つ必要があり、したがって同じエントロピーを持つべきであることを示すこと。

提案手法

• N記号のアルファベット上の無限列の集合としてコード空間Ωを定義し、最初に異なるインデックスkに対しdΩ(σ,ω) = 2−kと定める距離を備える。
• フラクタルトップをコード空間のシフト不変部分空間として導入し、トップ関数τF: AF → ΩFを定義する。
• コード空間上のシフト写像とアドレス関数の逆関数を組み合わせることで、変換TF: AF → AFを構成する。
• アドレス関数φF: ΩF → AFを用いて、コード列を吸引子内の点へ写像し、連続性と上への性質を保証する。
• ΩF ⊆ ΩGならば、AFからAGへの変換が連続であることが示され、ΩF = ΩGならば変換がホメオモルフィズムであることを立証する。
• このようなホメオモルフィズムの下で、IFSの位相的エントロピーが保存されることを証明し、エントロピーとコード空間構造との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの双曲的IFS吸引子間の連続的変換が存在する条件は何か？
• RQ2 このような変換がIFS吸引子間のホメオモルフィズムであるのはいつか？
• RQ3 IFS吸引子の位相的エントロピーは、そのコード空間構造とどのように関係するか？
• RQ4 コード空間の組み合わせ的構造のみを用いてフラクタル変換を構築できるか？
• RQ5 コード空間不変性とIFS吸引子の位相的エントロピーの関係は何か？

主な発見

• 1つの双曲的IFSのコード空間が、他方のコード空間に含まれる場合、その吸引子A₁から別の吸引子A₂への連続的変換が存在する。
• 2つのIFSのコード空間構造が同一である場合、それらの吸引子間の誘導された変換はホメオモルフィズムである。
• ホメオモルフィックなIFS吸引子は、同一のコード空間構造を持つ必要があり、その結果、位相的エントロピーがそのようなホメオモルフィズムの下で不変であることが示される。
• IFS吸引子の位相的エントロピーは、そのコード空間上での対応するシフト力学系のエントロピーの下界として定義できる。
• フラクタルトップ関数τFはアドレス関数φFの連続的逆写像を提供し、コード空間上のシフトとコンjugateな力学系を吸引子上に構築可能にする。
• トップ関数τFが連続であるとき、IFS吸引子の位相的エントロピーはそのコード空間上でのシフト写像のエントロピーと等しくなる。これにより、エントロピーの幾何的定義が確立される。