[論文レビュー] Transformations between nonlocal and local integrable equations

Bo Yang, Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、PT対称NLS、ダヴィーストゥアートン、修正KdV方程式などの広範な非局所的可積分方程式クラスを、局所的対応物に変換する単純な変数変換を導入する。これらの変換により、非局所方程式の可積分性が確立され、局所的解から解析的解の構成が可能となり、非局所短パルス、サササツマ、非線形拡散方程式を含む新しい非局所方程式の導出が可能になる。

ABSTRACT

Recently, a number of nonlocal integrable equations, such as the PT-symmetric nonlinear Schrodinger (NLS) equation and PT-symmetric Davey-Stewartson equations, were proposed and studied. Here we show that many of such nonlocal integrable equations can be converted to local integrable equations through simple variable transformations. Examples include these nonlocal NLS and Davey-Stewartson equations, a nonlocal derivative NLS equation, the reverse space-time complex modified Korteweg-de Vries (CMKdV) equation, and many others. These transformations not only establish immediately the integrability of these nonlocal equations, but also allow us to construct their analytical solutions from solutions of the local equations. These transformations can also be used to derive new nonlocal integrable equations. As applications of these transformations, we use them to derive rogue wave solutions for the partially PT-symmetric Davey-Stewartson equations and the nonlocal derivative NLS equation. In addition, we use them to derive multi-soliton and quasi-periodic solutions in the reverse space-time CMKdV equation. Furthermore, we use them to construct many new nonlocal integrable equations such as nonlocal short pulse equations, nonlocal nonlinear diffusion equations, and nonlocal Sasa-Satsuma equations.

研究の動機と目的

• 非局所可積分方程式を等価な局所可積分方程式に変換する体系的な手法を確立すること。
• 既知の局所方程式の解を活用して、非局所対応物の解析的解を構成すること。
• 変換技術を用いて非局所可積分方程式の新たなクラスを生成すること。
• この変換フレームワークを用いて、非局所系におけるラウグ波やマルチソリトン構造などの解のダイナミクスを分析すること。
• 非線形波動理論における非局所的および局所的可積分系の間の深い構造的関係を明確にすること。

提案手法

• 非局所方程式を局所形式に写像するために、複素変換および時間反転変換 $ x \to i\hat{x}, t \to -\hat{t} $ を適用する。
• 逆変換を用いて、既知の局所方程式の解から非局所方程式の解を生成する。
• 局所方程式から新しい非局所可積分方程式を導出するために、$ x \to ix, t \to it $ や $ x \to ix, t \to -t $ などの変換を適用する。
• 変換フレームワークを用いて、非局所方程式の明示的解（ラウグ波やマルチソリトン解を含む）を導出する。
• 特定の方程式（例：逆空間時間CMKdV、部分的PT対称DS方程式）に対して解を導出することで、手法の妥当性を検証する。
• (2+1)次元NLSや三波干渉方程式を含む、高次元および多成分系へのアプローチの拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称NLS方程式やダヴィーストゥアートン方程式などの非局所可積分方程式は、単純な変数変更によって局所可積分方程式に変換可能か？
• RQ2 局所可積分方程式の解をどのようにして非局所対応物の解析的解の構成に活用できるか？
• RQ3 これらの変換技術を用いて、どのような新しい非局所可積分方程式のクラスが生成可能か？
• RQ4 この変換法を用いて、非局所系におけるラウグ波やマルチソリトンなどの複雑な解構造を導出可能か？
• RQ5 これらの変換によって明らかにされる、非局所的および局所的可積分方程式の背後にある構造的関係は何か？

主な発見

• PT対称NLS方程式は $ x \to i\hat{x}, t \to -\hat{t} $ を用いて局所的非焦点NLS方程式に変換され、その可積分性が確認された。
• 部分的PT対称ダヴィーストゥアートン方程式および非局所微分NLS方程式のラウグ波解は、局所的焦点NLS方程式のペレグリン解から導出された。
• 逆空間時間CMKdV方程式におけるマルチソリトン解および準周期的解は、局所的CMKdV方程式の解を変換することで構成された。
• 変換法により、非局所短パルス方程式、非線形拡散方程式、サササツマ方程式、チエン＝リュー＝リウ方程式を含む新しい非局所可積分方程式が生成された。
• 逆空間時間非局所拡散方程式の解は指数的減衰を示すが、楕円 $ 4x^2 + 16t^2 = 1 $ 上で爆発を示し、有限時間における特異性を示している。
• 逆空間時間サササツマ方程式は、局所的サササツマ方程式に対して $ x \to ix, t \to -it $ を適用することで導出され、他の方程式に対しても同様に確認された。これにより、それらの可積分性が裏付けられた。