[論文レビュー] Transformations birationnelles de petit degré

Dominique Cerveau, Julie Déserti|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面における小次元の有理写像、特に二次写像の双有理写像を調査し、一般の二次写像が自由群を生成すること、全有理写像群が完全であること、例外的曲線の配置に基づく3次写像の分類といった代数的・力学的性質を確立している。また、共役不変量、不変対象、および軌道やジュリア型集合の可視化についても検討している。

ABSTRACT

Since the end of the XIXth century, we know that each birational map of the complex projective plane is the product of a finite number of quadratic birational maps of the projective plane; this motivates our work which essentially deals with these quadratic maps. We establish algebraic properties such as the classification of one parameter groups of quadratic birational maps or the smoothness of the set of quadratic birational maps in the set of rational maps. We prove that a finite number of generic quadratic birational maps generates a free group. We show that if f is a quadratic birational map or an automorphism of the projective plane, the normal subgroup generated by f is the full group of birational maps of the projective plane, which implies that this group is perfect. We study some dynamical properties: following an idea of Guillot, we translate some invariants for foliations in our context, in particular we obtain that if two generic quadratic birational maps are birationally conjugated, then they are conjugated by an automorphism of the projective plane. We are also interested in the presence of "invariant objects": curves, foliations, fibrations. Then follows a more experimental part: we draw orbits of quadratic birational maps with real coefficients and sets analogous to Julia sets for polynomials of one variable. We study birational maps of degree 3 and, by considering the different possible configurations of the exceptional curves, we give the "classification" of these maps. We can deduce from this that the set of the birational maps of degree 3 exactly is irreducible, in fact rationally connected.

研究の動機と目的

• 複素射影平面における小次元、特に二次写像の有理写像の代数的・力学的構造を理解すること。
• 例外的曲線の配置を分析することにより、3次有理写像を分類すること。
• 自己同型が二次写像の共役性に果たす役割および全有理写像群の生成に焦点を当てる。
• 有理写像の下で不変となる対象（曲線、ファイブレーション、回路など）の存在を調査すること。
• 実係数二次写像の軌道およびジュリア型集合の可視化を通じて、力学的挙動を明らかにすること。

提案手法

• 代数幾何学的手法を用いて、1パラメータ族の二次有理写像の分類。
• 有理写像の空間内における二次有理写像のパラメータ空間の滑らかさおよび既約性の研究。
• 群論的手法を用いて、有限個の一般の二次写像が合成に関して自由群を生成することを証明。
• ギヨーの研究にインspiredされた回路不変量を用い、一般の二次写像の有理的共役性が射影自己同型による共役性を意味することを確立。
• 基点および例外的曲線の配置に基づく3次有理写像の幾何的解析。
• 実二次写像の動的軌道およびジュリア型集合の数値的・実験的可視化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の二次有理写像がP²で生成する群の代数的構造は何か？ それが自由群であることを示せるか？
• RQ2 一般の二次有理写像がP²の自己同型によって共役となる条件は何か？
• RQ3 例外的曲線の配置に基づいて、3次有理写像をどのように分類できるか？
• RQ4 小次元有理写像の力学的挙動において、不変曲線、回路、ファイブレーションの役割は何か？
• RQ5 回路理論からの力学的不変量が、射影平面の有理写像にどの程度適用可能か？

主な発見

• 有限個の一般の二次有理写像が合成に関して自由群を生成する。
• 任意の二次有理写像またはP²の自己同型が生成する正規部分群は、全有理写像群そのものであるため、群は完全である。
• すべての3次有理写像の集合は既約的であり、実際には有理的連結である。
• 2つの一般の二次有理写像が有理的共役であるならば、それらはP²の自己同型による共役である。
• 二次有理写像の空間は、有理写像の空間の部分多様体として滑らかである。
• 軌道およびジュリア型集合の可視化により、実係数二次写像に対して複雑な力学的構造が明らかになった。