[論文レビュー] Transformations Generating Negative [Beta]-expansions

Karma Dajani, Charlene Kalle|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、{0,1} における数字を用いた負の β 展開を生成する力学系の族を導入し、生成される桁の列を同定し、不変測度の台を分析する。本稿は、族に属する決定的変換では負の基数におけるグリーディー展開を生成できないことを証明するが、ランダムなアルゴリズムによりそのような展開を定義可能であり、β < (1+√5)/2 のとき、一意の展開は端点を除きLebesgue測度がゼロであることを示す。

ABSTRACT

We introduce a family of dynamical systems that generate negative $\\beta$-expansions and study the support of the invariant measure which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure. We give a characterization of the set of digit sequences that is produced by a typical member of this family of transformations. We discuss the meaning of greedy expansions in the negative sense, and show that there is no transformation in the introduced family of dynamical systems that generates negative greedy. However, if one looks at random algorithms, then it is possible to define a greedy expansion in base $-\\beta$.

研究の動機と目的

• β > 1 に対して、{0,1} における数字を用いた負のβ展開を生成する力学系の族を開発すること。
• 族に属する典型的な変換が生成する桁の列の集合を同定すること。
• 負の基数におけるグリーディー展開が、決定的変換によって生成可能かどうかを調査すること。
• 導入された枠組み下での一意の負のβ展開の存在と構造を探索すること。
• ランダムアルゴリズムへの結果の拡張と、不変測度の台と測度の分析。

提案手法

• j ∈ {0,1} に対して、T_j(x) = -βx - j と定義される、[M⁻, M⁺] = [-β/(β²-1), 1/(β²-1)] 内の区間上で作用する、区分的線形写像の族を定義する。
• [M⁻, M⁺] を三つの領域 U₀, S, U₁ に分割する。U₀ と U₁ はそれぞれ T₀ と T₁ によって写像される区間であり、S はスイッチ領域である。
• 現在の反復値が U₀, U₁, S のいずれにあるかに応じて、確率的に桁を選択するランダム変換を構成する。そのルールは反復ステップの偶奇に応じて交互に変化する。
• 反復関数系とシリンダ集合を用いて、入れ子になった集合 Ωₙ を定義し、ほとんど確実に一意の列に収束することを保証する。
• エルゴディック理論およびacim（絶対連続不変測度）理論の結果を応用し、不変測度の台と測度を分析する。
• 既知の結果 [LY73] および [LY78] を活用し、変換に対して不変測度の存在と有限個のエルゴディック成分が存在することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導入された族に属する決定的力学系は、負の基数におけるグリーディー展開を生成可能か？
• RQ2 これらの変換に対して、Lebesgue測度に関して絶対連続な不変測度の構造と台は何か？
• RQ3 族に属する典型的な変換が生成する桁の列の集合は何か？
• RQ4 ランダムアルゴリズムにより、基数 -β におけるグリーディー展開を定義可能か？また、決定的構成と比較してどうなるか？
• RQ5 [M⁻, M⁺] 内のどの点が、{0,1} における数字を用いた一意の負のβ展開を持つのか？その集合の測度は何か？

主な発見

• 族に属する決定的写像のいかなる変換も、負のグリーディーβ展開を生成しない。グリーディー選択を区間全体に一貫して実装できないためである。
• 族に属する典型的な変換が生成する桁の列の集合は、力学的ダイナミクスと領域所属に基づく入れ子になったシリンダ集合によって同定される。
• β < (1+√5)/2 のとき、一意の負のβ展開を持つ唯一の点は端点 M⁻ と M⁺ であり、そのような点の集合はLebesgue測度がゼロである。
• 各変換の不変測度はLebesgue測度に関して絶対連続であり、不連続点の周囲に区間を含む台を持つ。
• ランダムアルゴリズムにより、基数 -β におけるグリーディー展開を定義可能であり、桁の選択は現在の状態とステップの偶奇に応じて交互に変化し、ほとんど確実にグリーディー列に収束する。
• acimの台は、少なくとも1つの不連続点を内部に含む前向き不変集合であり、2桁の場合、エルゴディック成分の数は最大2つである。