[論文レビュー] Transformations in quantum networks via local operations assisted by finitely many rounds of classical communication

Cornelia Spee, Tristan Kraft|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限回のラウンドにおける局所操作と古典的通信（LOCC）を用いた量子ネットワークにおける決定的および確率的状態変換を、最大にエンタングルされた2キュービット状態に基づくネットワークで調査する。木構造のネットワークではすべてのSLOCC同値状態に到達可能であるが、サイクルを含むネットワークでは根本的な制限が生じる：一部の状態は確率的であっても到達不可能であり、各参加者が1回の測定のみを行うプロトコルでは、特定のエンタングル状態に到達できない。このような状態に到達するには複数回の測定が必要であることが示された。

ABSTRACT

Recent advances have led towards first prototypes of quantum networks in which entanglement is distributed by sources producing bipartite entangled states. This raises the question of which states can be generated in quantum networks based on bipartite sources using local operations and classical communication. In this work, we study state transformations under finite rounds of local operations and classical communication (LOCC) in networks based on maximally entangled two-qubit states. We first derive the symmetries for arbitrary network structures, as these determine which transformations are possible. Then, we show that contrary to tree graphs, for which it has already been shown that any state within the same entanglement class can be reached, there exist states which can be reached probabilistically but not deterministically if the network contains a cycle. Furthermore, we provide a systematic way to determine states which are not reachable in networks consisting of a cycle. Moreover, we provide a complete characterization of the states which can be reached in a cycle network with a protocol where each party measures only once, and each step of the protocol results in a deterministic transformation. Finally, we present an example which cannot be reached with such a simple protocol, and constitutes, up to our knowledge, the first example of a LOCC transformation among fully entangled states requiring three rounds of classical communication.

研究の動機と目的

• 有限回のLOCCプロトコルを用いて、量子ネットワークにおけるどのエンタングル状態が決定的に変換可能かを特定すること。
• SLOCC同値であっても、状態到達可能性を制限するネットワークトポロジーの構造的制約（特にサイクル）を同定すること。
• 局所対称性に基づいて、サイクルを含むネットワークにおける到達不可能な状態を体系的に除外する手法を確立すること。
• 各参加者が一度だけ測定するプロトコルで到達可能なすべての状態を特徴づけ、複数回の測定を要する状態の例を示すこと。

提案手法

• 任意のネットワーク構造における局所対称性の完全な集合を導出し、最大にエンタングルされた状態では形式 $ Y \otimes Y^{-T} $ に制限されることを示した。
• 対称性構造を用いて、局所操作とターゲット状態演算子との間の関係を示す必要条件 $ V_i^{(j)} h_j = h_j S_i^{(j)} $ を確立し、決定的LOCC変換を定式化した。
• 初期状態の対称性とターゲット状態の対称性の整合性を分析することで、到達不可能な状態を体系的に同定する手法を適用した。
• POVMと局所ユニタリを用いた明示的プロトコルを構築し、各参加者が複数回測定を要する状態への到達を含め、ターゲット状態に到達するプロトコルを構成した。
• 三角形ネットワークを事例として分析し、ベル対角型および非退化対称性構造を用いて、到達可能性の限界を証明した。
• 密度行列の標準形と対称性分解を用いて、単一測定プロトコル下での到達可能な状態を分類した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクルを含む量子ネットワークにおいて、有限回のLOCCプロトコルを用いて、すべてのSLOCC同値状態に到達可能か？
• RQ2 ネットワークトポロジーに特有の構造的制約（特にサイクル）は、どの程度エンタングル状態の到達可能性を制限するか？
• RQ3 サイクルを含むネットワークにおいて、確率的に到達可能だが決定的に到達不可能な状態は存在するか？
• RQ4 すべての到達可能な状態は、各参加者が一度だけ測定するプロトコルで得られるか？
• RQ5 特定のエンタングル状態に到達するために、サイクルを含むネットワークで必要な最小の測定ラウンド数は何か？

主な発見

• サイクルを含む量子ネットワークでは、木構造のネットワークと同様にSLOCC同値状態すべてに到達可能とは限らず、決定的変換が不可能な状態が存在する。
• ターゲット状態の局所対称性は、初期の最大にエンタングルされた状態の対称性と整合性を持つ必要があり、サイクルを含むネットワークではその整合性がより厳しく制限される。
• 方程式 $ V_i^{(j)} h_j = h_j S_i^{(j)} $ を用いて、対称性の整合性をチェックすることで、到達不可能な状態のクラスを体系的に除外する手法が確立された。
• 三角形ネットワークにおいて、非退化対称性構造（例：$ H_3 = U_1^ op (\mathbf{1} + c\sigma_z \otimes \sigma_z) U_1 $）を持つ状態は、参加者が複数回測定しない限り、単一測定プロトコルでは到達不可能である。
• 3回の測定ラウンドを要する特定のエンタングル状態に到達する明示的プロトコルが構築され、単一測定プロトコルでは特定の状態に到達できないことが実証された。
• 本稿では、ターゲット状態と可換であるが、恒等的対称性によって既に達成可能な範囲を超えて到達可能性を拡張しない $ \sigma_x^{ ensors{6}} $ の対称性が証明された。