[論文レビュー] Transformations of infinitely divisible distributions via improper stochastic integrals

Ken‐iti Sato|ArXiv.org|Jul 4, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、$X^{(\mu)}$ を均質かつ独立に散乱する確率測度、$\mu$ を無限に可除分布とする形の不適切な確率積分 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$ を導入し、分析する。三つの修正変換—補正済み、本質的、対称化—を定義し、それらの定義域を Lévy–Khintchine トリプレットを用いて特徴づけ、定義域が大きいか小さいかの必要十分条件を確立する。主な貢献は、$\Psi_f$ が Lévy 測度に誘導する変換を決定する $\tau$-測度の特徴づけであり、既知の Upsilon 変換に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $X^{(μ)}(ds)$ be an $\mathbb{R}^d$-valued homogeneous independently scattered random measure over $\mathbb{R}$ having $μ$ as the distribution of $X^{(μ)}((t,t+1])$. Let $f(s)$ be a nonrandom measurable function on an open interval $(a,b)$ where $-\infty\leqslant a<b></b>

研究の動機と目的

• 半直線 $[0,\infty)$ を超えて、$-\infty \leq a < b \leq \infty$ を満たす開区間 $(a,b)$ への不適切な確率積分理論の拡張。
• 無限に可除分布の三つの修正変換—補正済み、本質的、対称化—を定義し、それらをこの積分を通じて分析する。
• これらの変換の定義域を Lévy–Khintchine トリプレットおよび絶対的定義可能性の観点から特徴づける。
• $f$ の $\tau$-測度を導入し、それが誘導される Lévy 測度上の変換 $\Psi_f$ を完全に特徴づける条件を特定する。
• Upsilon 変換および一般化された Upsilon 変換に関する既知の結果を、$\tau$-測度フレームワークに結びつけることで一般化する。

提案手法

• 不適切な積分 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$ は、$p \downarrow a$ および $q \uparrow b$ のときの $\int_p^q f(s) X^{(\mu)}(ds)$ の確率的極限として定義される。
• 三つの修正積分が導入される：補正済み（中心化付き）、本質的（特定の極限条件付き）、対称化（極限の対称化による）。
• 各変換に対して、得られる分布の Lévy–Khintchine トリプレットが導出され、定義域の特徴づけが可能になる。
• 不適切な積分が一意に定義可能であるような分布を特定するために、絶対的定義可能性の概念が導入される。
• $f$ の $\tau$-測度が定義され、$\int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} (|ux|^2 \land 1) \, \nu(dx) < \infty$ の条件を用いて、Lévy 測度上の変換 $\Psi_f$ を表現する。
• 関数 $f$ の指示関数およびその二乗または絶対値の可積分性を用いて、$\Psi_f$ の定義域の同値条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限に可除分布 $\mu \in ID(\mathbb{R}^d)$ に対して、不適切な確率積分 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$ が絶対的に定義可能であるのはどのような条件下か？
• RQ2 本質的または対称化変換 $\Phi_{f,\text{es}}$ や $\Phi_{f,\text{sym}}$ の定義域が最大であるのはいつか？
• RQ3 $f$ の $\tau$-測度は、Lévy 測度上の変換 $\Psi_f$ をどのように決定するか？
• RQ4 $f$ にどのような条件を課えると、$\Psi_f$ が純粋に非ガウス型の無限に可除分布の Lévy 測度のクラスへ写像するか？
• RQ5 $\Psi_f$ の像が唯一ゼロ測度に制限されるのはいつか？

主な発見

• 絶対的に定義可能な積分の定義域 $\mathfrak{D}^{0}(\Phi_f)$ は、$\mathfrak{D}^{0}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{c}}) \subset \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{es}}) = \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{sym}})$ を満たす。
• Lévy 測度上の変換 $\Psi_f$ の定義域 $\mathfrak{D}(\Psi_f)$ は、$\int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} (|ux|^2 \land 1) \, \nu(dx) < \infty$ によって特徴づけられる。
• $\Psi_f$ は、Borel 集合 $B \subset \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ に対して $\Psi_f(\nu)(B) = \int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} 1_B(ux) \, \nu(dx)$ により $\nu$ を $\Psi_f(\nu)$ に写像する。
• $\mathfrak{D}(\Psi_f)$ がすべての $\mathrm{Lvm}(ID(\mathbb{R}^d))$ を含むのは、$\int_a^b 1_{\{f(s) \neq 0\}} ds < \infty$ かつ $\int_a^b f(s)^2 ds < \infty$ のときに限る。
• $\mathfrak{D}(\Psi_f)$ が自明（ゼロ測度のみ）であるのは、$\int_a^b (f(s)^2 \land 1) ds = \infty$ のときに限る。
• 正の錐 $K \subset \mathbb{R}^d$ に対して、$\mathrm{Lvm}(ID(K)) \subset \mathfrak{D}(\Psi_f)$ が成り立つのは、$\int_a^b 1_{\{f(s) \neq 0\}} ds < \infty$ かつ $\int_a^b |f(s)| ds < \infty$ が成り立つ（$f \geq 0$ のとき）に限る。