[論文レビュー] Transformations of Markov Processes and Classification Scheme for Solvable Driftless Diffusions

Claudio Albanese, Alexey Kuznetsov|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ドゥーブのh変換と微分同相写像を組み合わせた確率的変換を用いて、漂移項を除去する手法を活用し、解析的に解ける1次元拡散過程の新規分類スキームを提案する。主な貢献は、既知の過程を変換することで、ハイパージェオメトリックおよび発散ハイパージェオメトリックR族に属する新たな漂移なし拡散過程の体系的生成法を提供することである。これらの過程は、不変量としてのボーズ不変量とリウヴィル変換を介して、すべての遷移密度が超幾何関数で表現可能であることが特徴である。

ABSTRACT

We propose a new classification scheme for diffusion processes for which the backward Kolmogorov equation is solvable in analytically closed form by reduction to hypergeometric equations of the Gaussian or confluent type. The construction makes use of transformations of diffusion processes to eliminate the drift which combine a measure change given by Doob's h-transform and a diffeomorphism. Such transformations have the important property of preserving analytic solvability of the process: the transition probability density for the driftless process can be expressed through the transition probability density of original process. We also make use of tools from the theory of ordinary differential equations such as Liouville transformations, canonical forms and Bose invariants. Beside recognizing all analytically solvable diffusion process known in the previous literature fall into this scheme and we also discover rich new families of analytically solvable processes.

研究の動機と目的

• 1次元マルコフ過程の後向きコルモゴロフ方程式が、超幾何方程式への還元によって閉形式で解けるような包括的な分類スキームの構築を目的とする。
• 測度変更（ドゥーブのh変換）と微分同相写像を用いて、一般の拡散過程を漂移なし形式に変換する枠組みを確立し、解析的可解性を保つこと。
• オーナイシュタイン＝ウーレンバック、ベッセル、CIR、ヤコビ過程といった既知のクラスを超える、新たな解析的に可解な拡散過程の族の特定と特徴付け。
• 変換下でも可解性を保つ不変量（ボーズ不変量とリウヴィル変換）を導入し、体系的な新規可解過程の生成を可能にする。
• 既存の文献における結果を統一的かつ一般化し、すべての既知の解析的に可解な拡散過程が本分類に含まれることを示すと同時に、より豊かな新規族の発見。

提案手法

• ドゥーブのh変換（測度変更）と微分同相写像（状態空間変換）の組み合わせによる確率的変換を用い、拡散過程の漂移項を除去する。
• リウヴィル変換と標準形を適用し、2階微分作用素（生成子）を標準的な超幾何方程式または発散超幾何方程式に還元する。
• ボーズ不変量を、確率的変換下での不変量として用い、変換クラス全体にわたって可解性が保たれることを保証する。
• 変換のヤコビアンと関連常微分方程式の基本解のロンスキアンを用いて、変換後の過程のボラティリティ関数を導出する。
• 変換関係を用い、元の過程の密度の変換（測度変更および状態空間変換）を通じて、漂移なし過程の遷移密度を構築する。
• 正則な特異点を持つ2階線形常微分方程式の理論を用い、その標準形と関連特殊関数（超幾何関数または発散超幾何関数）に基づいて、すべての可能な可解生成子の分類を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元拡散過程のどのクラスが、後向きコルモゴロフ方程式に対して解析的閉形式解を有するか？
• RQ2 漂移項を除去しつつ解析的可解性を保つように、確率的変換を体系的に構築する方法は何か？
• RQ3 このような変換下で不変のまま残る不変量は何か？ そしてそれらはどのように可解な過程の分類に利用できるか？
• RQ4 本フレームワークは、CIR、ヤコビ、オーナイシュタイン＝ウーレンバックといった古典的クラスを超える新たな可解拡散過程の族を生成できるか？
• RQ5 元過程の生成子と、変換後の漂移なし過程のボラティリティ関数との正確な関係は何か？

主な発見

• オーナイシュタイン＝ウーレンバック、ベッセル、CIR、ヤコビ過程といった、既知のすべての解析的に可解な拡散過程が、本提案分類スキームに包含される。
• 本稿では、2つの新規可解拡散過程の族を構築した：$A(x) = x(1-x)$ の場合のハイパージェオメトリックR族と、$A(x) = x$ の場合の発散ハイパージェオメトリックR族であり、これらはヤコビ過程およびCIR過程を一般化する。
• 変換後の漂移なし過程のボラティリティ関数は、$\sigma_Y(Y(x)) = y'(x) / \gamma(y(x))$ として明示的に与えられる。ここで $y(x)$ は超幾何型常微分方程式の解のメビウス変換である。
• 漂移なし過程の遷移密度は、元の過程の密度の変換を通じて超幾何関数で表現可能であり、解析的可解性が保たれる。
• ボーズ不変量は確率的変換下で不変であり、可解生成子の完全な分類ツールとして機能し、新たな可解クラスの同定を可能にする。
• 2番目の分類定理は、すべての（発散）超幾何R族に属する過程が、$dX_t = (a + bX_t) \frac{A(X_t)}{R(X_t)} dt + \frac{A(X_t)}{\sqrt{R(X_t)}} dW_t$ の形をとる1つの基本過程の確率的変換として得られることを示している。ここで $R(x)$ は定義域内で零点を持たない2次多項式である。