[論文レビュー] Transformations of units and world's geometry

Israel Quirós|ArXiv.org|Apr 5, 2000

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Weyl可積分幾何学（WIG）が、点依存する単位変換に対して不変であるため、重力の整合的な幾何的枠組みを提供すると主張している。これは、リーマン幾何学とは異なり、このような変換に対して破綻しないからである。主な結果は、スワーツシルトブラックホールやフレリッドマン＝ロバートソン・ウォーカー宇宙論における時空特異点が、幾何的定式化の不整合に起因するものであり、共形スケーリングを施すと、WIGにおいて特異点のないワームホール型の幾何に変わるということである。これは、WIGが自然に量子効果を組み込む可能性を示唆している。

ABSTRACT

The issue of the transformations of units is treated, mainly, in a geometrical context. It is shown that Weyl-integrable geometry is a consistent framework for the formulation of the gravitational laws since the basic law on which this geometry rests is invariant under point-dependent transformations of units. Riemann geometry does not fulfill this requirement. Spacetime singularities are then shown to be a consequence of a wrong choice of the geometrical formulation of the laws of gravitation. This result is discussed, in particular, for the Schwrazschild black hole and for Friedmann-Robertson-Walker cosmology. Arguments are given that point at Weyl-integrable geometry as a geometry implicitly containing the quantum effects of matter. The notion of geometrical relativity is presented. This notion may represent a natural extension of general relativity to include invariance under the group of units transformations.

研究の動機と目的

• 点依存する単位変換に対して一般相対性理論が不整合を示す問題を扱う。これは、曲率スカラーに影響を与え、物理法則に影響を及ぼす。
• リーマン幾何学が単位変換に対して不変でないため、物理的に不適切であり、物理的でない特異点を生じることを主張する。
• Weyl可積分幾何学（WIG）を、単位変換に対して物理法則を保存するより根本的な幾何的枠組みとして提唱する。
• スワーツシルトおよびFRW時空における特異点が、リーマン的定式化の結果に過ぎず、物理的現実ではないことを示す。
• 一般相対性理論の自然な拡張として「幾何的相対性」を提唱し、単位変換に対する不変性を組み込み、量子効果を含める可能性を示唆する。

提案手法

• 長さ、時間、質量に対する点依存する単位変換における物理法則の不変性を形式化する。
• 共形スケーリング（ĝ_ab = Ω²(x)g_ab）を用いて、リーマン的時空をWeyl可積分的時空に写像し、時空の一致点を保存する。
• Brans-Dicke作用を元のフレームと共形フレームの両方で用い、単位変換が重力の幾何的構造に与える影響を示す。
• Brans-Dicke作用の共形変換からWeyl可積分的定式化を導出し、基本的幾何的仮説（式2.6）の不変性を示す。
• スワーツシルトおよびフレリッドマン＝ロバートソン・ウォーカー解を共形スケーリングの下で解析し、特異点がWIG枠組みにおいて消失することを示す。
• 異なる共形因子を持つWeyl可積分的時空が、物理的にも観測的にも区別できないという等価類を形成する、新たな仮説を提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ一般相対性理論では時空特異点が現れるのか。これは幾何的定式化の結果であり、物理的現実ではないのだろうか？
• RQ2 一般相対性理論は点依存する単位変換に対して不変なのか。そうでない場合、物理法則にどのような影響を与えるのか？
• RQ3 Weyl可積分幾何学は、単位変換に対して不変であるため、重力の整合的な幾何的枠組みとして機能できるのか？
• RQ4 メトリックの共形スケーリングによって、スワーツシルトおよびFRW時空における特異点はどのように変化するのか。これは天体観測にどのような含意をもたらすのか？
• RQ5 WIGにおける単位変換に対する不変性は、自然に量子効果を組み込むことができると考えられるか。これは、量子力学とのより深い統合を示唆するのか？

主な発見

• スワーツシルト解における時空特異点は物理的ではなく、リーマン幾何学の使用に起因するものであり、点依存する単位変換に対して不変でないためである。
• 共形スケーリング（ĝ_ab = Ω²(x)g_ab）の下で、スワーツシルトブラックホールはWeyl可積分幾何学において特異点のないワームホール型時空に写像され、時空の一致点に変更はない。
• フレリッドマン＝ロバートソン・ウォーカー宇宙論モデルについても、同じ共形写像の下で特異点のない状態に変換され、ビッグバン特異点が幾何的選択の結果である可能性が示唆される。
• Weyl可積分幾何学は、単位変換に対して基本的幾何的仮説（式2.6）を保存するため、リーマン幾何学とは異なり、物理法則の整合的枠組みとなる。
• 本稿では「幾何的相対性」を新たな原理として提唱する。異なる共形因子を持つWeyl可積分的時空の無限の等価類が、観測的にも物理的にも区別できない。これは、一般相対性の拡張として、単位変換を含む一般的不変性を示す。
• 結果として、Weyl可積分幾何学が物質の量子効果を暗黙的に含んでおり、特異点に関する長年の問題を解消する一般相対性理論の自然な拡張である可能性が示唆される。