[論文レビュー] Transformations preserving the norm of means between positive cones of general and commutative $C^*$-algebras

Yunbai Dong, Lei Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、単位的 $C^*$-代数の正の部分代数間の算術平均、幾何平均、調和平均のノルムを保存する全射的変換が、ジョルダン $*$-同型写像に拡張可能であることを確立している。可換な場合、$C_0(X)$ と $C_0(Y)$ の正の部分代数間で、任意の平均のノルムを保存する写像は、コンパクトな $G_{\delta}$ 集合にピークする十分な数の関数を含む領域と像を備える場合、代数 $*$-同型写像に拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we consider a (nonlinear) transformation $Φ$ of invertible positive elements in $C^*$-algebras which preserves the norm of any of the three fundamental means of positive elements; namely, $\|Φ(A)\mm Φ(B)\| = \|A\mm B\|$, where $\mm$ stands for the arithmetic mean $A abla B=(A+B)/2$, the geometric mean $A\#B=A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}$, or the harmonic mean $A!B=2(A^{-1} + B^{-1})^{-1}$. Assuming that $Φ$ is surjective and preserves either the norm of the arithmetic mean or the norm of the geometric mean, we show that $Φ$ extends to a Jordan $*$-isomorphism between the underlying full algebras. If $Φ$ is surjective and preserves the norm of the harmonic mean, then we obtain the same conclusion in the special cases where the underlying algebras are $AW^*$-algebras or commutative $C^*$-algebras. In the commutative case, for a transformation $T: F(\mathrm{X})\subset C_0(\mathrm{X})_+ ightarrow C_0(\mathrm{Y})_+$, we can relax the surjectivity assumption and show that $T$ is a generalized composition operator if $T$ preserves the norm of the (arithmetic, geometric, harmonic, or in general any power) mean of any finite collection of positive functions, provided that the domain $F(\mathrm{X})$ contains sufficiently many elements to peak on compact $G_δ$ sets. When the image $T(F(\mathrm{X}))$ also contains sufficiently many elements to peak on compact $G_δ$ sets, $T$ extends to an algebra $*$-isomorphism between the underlying full function algebras.

研究の動機と目的

• 正の部分代数間のノルム保存写像に関するティンゲリー型問題を、基本的な平均のノルムを保存する変換の特徴づけによって解決すること。
• 算術平均、幾何平均、調和平均に関してノルム加法的写像を研究することで、古典的マズール＝ウラムの定理を正の部分代数へ拡張すること。
• 可換 $C^*$-代数の正の部分代数間で、ノルム保存写像が完全な代数 $*$-同型写像に拡張されるための条件を確立すること。
• 非可換および可換 $C^*$-代数において、ピーク集合の条件を用いて平均のノルムを保存する変換を特徴づける一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 算術平均、幾何平均、調和平均のノルムを保存する、$C^*$-代数における可逆な正の元間の変換 $\Phi$ を定義し、分析する：$\|\Phi(A)\mathfrak{m}\Phi(B)\| = \|A\mathfrak{m}B\|$。
• Kubo-Ando平均の構造——算術 $A\nabla B = (A+B)/2$、幾何 $A\#B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}$、調和 $A!B = 2(A^{-1}+B^{-1})^{-1}$——を用いて写像を特徴づける。
• 算術平均または幾何平均に関して、全射的ノルム保存写像が、全体の $C^*$-代数間のジョルダン $*$-同型写像に拡張可能であることを証明する。
• 調和平均に関しては、追加の仮定（$AW^*$-代数または可換 $C^*$-代数）の下で、同様の結論を得る。
• 可換な場合、ピーク集合条件を用いる：領域 $F(X)$ がコンパクトな $G_{\delta}$ 集合にピークする関数を十分に含むならば、ノルム保存写像は $*$-同型写像に拡張される。
• $p>0$ に対して $f \mapsto (Tf^{1/p})^p$、$p<0$ に対して $f \mapsto (Tf^{-1/p})^{-p}$ の変換を適用し、べき平均を算術平均または調和平均の保存に還元する。この際、定理3.9および3.26を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の部分代数間の全射的写像が算術平均のノルムを保存する場合、どのような条件下でジョルダン $*$-同型写像に拡張可能か？
• RQ2 単位的 $C^*$-代数の正定値元間で幾何平均のノルムを保存する写像は、ジョルダン $*$-同型写像に拡張可能か？
• RQ3 $AW^*$-代数または可換 $C^*$-代数の正の部分代数間で調和平均のノルムを保存する写像は、ジョルダン $*$-同型写像に拡張可能か？
• RQ4 可換な設定において、正の関数上のノルム保存写像が $C_0(X)$ と $C_0(Y)$ 間の代数 $*$-同型写像に拡張されるのはいつか？
• RQ5 可換な場合に、ノルム保存平均写像が完全な代数同型写像に拡張されるための、写像の定義域と像の上での位相的条件は何か？

主な発見

• 単位的 $C^*$-代数の正の部分代数間で算術平均または幾何平均のノルムを保存する全射的写像は、全代数間のジョルダン $*$-同型写像に拡張可能である。
• 調和平均に関しては、その代数が $AW^*$-代数または可換 $C^*$-代数である場合、同様の拡張が成り立つ。
• 可換な場合、写像 $T: F(X) \subset C_0(X)_+ \to C_0(Y)_+$ が任意の有限平均（算術、幾何、調和、べき平均）のノルムを保存し、$F(X)$ がコンパクトな $G_{\delta}$ 集合にピークする関数を十分に含むならば、$T$ は一般化された合成作用素である。
• $F(X)$ と $T(F(X))$ が両方とも、コンパクトな $G_{\delta}$ 集合にピークする十分な数のピーク関数を含むならば、$T$ は $C_0(X)$ と $C_0(Y)$ 間の代数 $*$-同型写像に拡張される。
• $T$ の全射性は、定義域と余定義域にノルムが1の正の関数が備わっており、ピーク集合条件を満たす場合、稠密な像から従う。
• 証明は、定義域におけるコーシー列が極限で正則な正の関数に収束することを示すことに依拠しており、これにより像が稠密で写像が全射であることが保証される。