[論文レビュー] Transforming Recurrent Sequences by Using the Binomial and Invert Operators

Stefano Barbero, Umberto Cerruti+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、整域上での線形再帰列に対する2項および逆作用素に加え、シフト作用素の作用を調査する。これらの作用素が線形再帰列の集合を保つことを証明し、特徴多項式への変換の明示的公式を導出する。主たる貢献は、任意のインパルス列を「構成」と「分解」のプロセスにより他の任意のインパルス列に変換する構成的フレームワークを提供することであり、フィボナッチ恒等式やr-ボナッチ数列への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we study the action of the Binomial and Invert (interpolated) operators on the set of linear recurrent sequences. We prove that these operators preserve this set, and we determine how they change the characteristic polynomials. We show that these operators, with the aid of two other elementary operators (essentially the left and right shifts), can transform any impulse sequence (a linear recurrent sequence starting from $(0,...,0,1)$) into any other impulse sequence, by two processes that we call \emph{construction} and \emph{deconstruction}. Finally, we give some applications to polynomial sequences and pyramidal numbers. We also find a new identity on Fibonacci numbers, and we prove that $r$--bonacci numbers are a Bell polynomial transform of the $(r-1)$--bonacci numbers.

研究の動機と目的

• 整域上での線形再帰列に対する2項および逆作用素の作用を分析すること。
• これらの作用素が線形再帰列の特徴多項式にどのように影響を与えるかを特定すること。
• 2項、逆、およびシフト作用素を用いた群作用の枠組みを確立し、線形再帰列の集合を保つこと。
• 任意のインパルス列を他の任意のインパルス列に変換する構成的および分解的プロセスを開発すること。
• 多項式列およびピラミッド数にこのフレームワークを適用し、新たな恒等式および構造的関係を明らかにすること。

提案手法

• 通常の母関数を用いて定義される2項作用素 $ L^{(y)} $ および逆作用素 $ I^{(x)} $ の補間版を導入：$ I^{(x)} $ については $ B(t) = \frac{A(t)}{1 - x t A(t)} $、$ L^{(y)} $ については $ c_n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} y^{n-i} a_i $。
• 母関数および畳み込み逆元を用いて $ I^{(x)} $ の再帰的関係を導出し、$ b_n = a_n + x \sum_{j=0}^{n-1} a_{n-1-j} b_j $（$ b_0 = a_0 $）を示す。
• ニュートンの恒等式および有限差分を用いて、$ \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} y^i \alpha^{m-i} P(i) = (\alpha + y)^m Q(m) $（$ Q(m) $ は $ m $ に関する多項式）を証明し、特徴多項式の変換を可能にする。
• シフト作用素 $ \sigma $（右シフト）および $ \rho $（左シフト）を導入し、列の初期条件を操作する。
• 1クリック分解技術を $ L^{(-1)} $ を用いて、多項式列から有限差分 $ \Delta^n f(0) $ を抽出し、$ L^{(1)} $ を用いて再構成を可能にする。
• 図形数にこのフレームワークを適用し、特徴多項式 $ (t-1)^2 $ の列の繰り返し部分和から多角数およびピラミッド数が生じることを示し、作用素の合成を用いてその生成則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2項および逆作用素は、線形再帰列の特徴多項式をどのように変換するか？
• RQ2 2項、逆、およびシフト作用素によって生成される群は、インパルス列の集合上で推移的に作用するか？
• RQ3 作用素変換の下で、r-ボナッチ数と(r+1)-ボナッチ数の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 2項作用素を用いて、有限差分から多項式列をどのように再構成できるか？
• RQ5 これらの作用素の作用の下で、ピラミッド数および多角数にどのような構造的恒等式が現れるか？

主な発見

• 2項および逆作用素は線形再帰列の集合を保ち、特徴多項式への作用が多項式変換則によって明示的に特徴付けられる。
• 合成 $ I(\rho(F^{(r)})) = F^{(r+1)} $ は、r-ボナッチ列から(r+1)-ボナッチ列を生成し、r-ボナッチ数が(r-1)-ボナッチ数のベル多項式変換であることを証明する。
• フィボナッチ数に関する新しい恒等式が導出される：$ F_{n+1}^{(r)} = F_n^{(r-1)} + \sum_{i=1}^{n-1} F_{i-1}^{(r)} F_{n-i-1}^{(r-1)} $（$ r \geq 3 $ に対して成立）。
• 1クリック分解 $ L^{(-1)}(f(n)) = (\Delta^n f(0)) $ を用いることで、多項式列の有限差分から完全な再構成が可能となり、標準的なニュートン級数展開が得られる。
• 特徴多項式 $ (t-1)^3 $ の多角数および $ (t-1)^4 $ のピラミッド数が、$ (t-1)^2 $ の列の繰り返し部分和から生じることを示し、初期差分列に $ L^{(1)} $ を適用することでその項が回復されることを示す。
• 多角数（例：A000217, A000290）のOEIS列が、作用素フレームワークから自然に生じることを示し、恒等式 $ L^{(1)}((0,1,q-2,0,\ldots)) = (P_q^{(2)}(n)) $ を用いて、既知のエントリに対する構成的証明が得られる。