[論文レビュー] Transgression to Loop Spaces and its Inverse, I: Diffeological Bundles and Fusion Maps

Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

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ひとこと要約

本稿では、微分形式的主 bundle に接続を備えた同型類とその薄いループ空間 L(X) 上の融合写像の間の標準的同型を、明示的なトランスグレッションおよびレグレッション関手を用いて確立する。主な貢献は、X 上の幾何構造と L(X) 上の代数的構造の間に成立する双対性であり、バーレットの研究を微分形式的空間へ一般化し、局所定数な融合写像を用いた平坦接続への拡張を含む。

ABSTRACT

We prove that isomorphism classes of principal bundles over a diffeological space are in bijection to certain maps on its free loop space, both in a setup with and without connections on the bundles. The maps on the loop space are smooth and satisfy a "fusion" property with respect to triples of paths. Our bijections are established by explicit group isomorphisms: transgression and regression. Restricted to smooth, finite-dimensional manifolds, our results extend previous work of J. W. Barrett.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体から微分形式的空間のより広いカテゴリへバーレットのトランスグレッション構成を一般化すること。
• 微分形式的空間 X 上の主 A- bundle に接続を備えた同型類を、その薄いループ空間 L(X) 上の滑らかな融合写像によって特徴付けること。
• トランスグレッションおよびレグレッションと呼ばれる明示的な逆関手を定義し、それらが二つの構造の間の群同型を確立すること。
• 局所定数な融合写像と平坦 bundle を同一視することにより、対応関係を平坦接続へ拡張すること。

提案手法

• S¹ から X への滑らかな写像のなす空間を、薄いホモトピーに関して同値とみなしたものとして、薄いループ空間 L(X) を定義し、自然な微分形式的構造を備える。
• 経路の連結と反転を含む三価の合成恒等式を満たす滑らかな写像 f: L(X) → A を融合写像として導入する。
• X 上の bundle に備えた接続に対して、L(X) 上のループに沿ったホロノミーを割り当てることでトランスグレッション写像を構成し、それが融合写像を与えることを証明する。
• 与えられた L(X) 上の融合写像 f から、経路の持ち上げとホロノミーのデータを用いて、X 上の主 bundle と接続を再構成するレグレッション写像を構成する。
• トランスグレッションとレグレッションが互いに逆関手であることを証明し、二つの対象のクラスの間の群同型を確立する。
• 同型が平坦接続および局所定数な融合写像に制限され、幾何的および代数的構造が保存されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主 bundle の接続のトランスグレッションを滑らかな多様体からより一般的な微分形式的空間へ拡張することは可能か？
• RQ2 トランスグレッションの標準的逆、すなわちループ空間上の融合写像から基底空間上の bundle へ再構成するプロセスが存在するか？
• RQ3 基底空間上の bundle と接続の同型類と正確に対応するループ空間上の代数的構造は何か？
• RQ4 この双対性の下で、基底空間上の平坦接続は融合写像とどのように対応するか？
• RQ5 再構成された bundle が平坦接続を持つために、融合写像に必要な正確な条件は何か？

主な発見

• 微分形式的空間 X 上の主 A- bundle に接続を備えた同型類の集合と、薄いループ空間 L(X) 上の融合写像のなす群との間に、標準的な群同型が存在する。
• この同型は、明示的かつ逆関手としてのトランスグレッション（bundle から融合写像へ）およびレグレッション（融合写像から bundle へ）によって実現される。
• この対応関係は、平坦 bundle（平坦接続付き）と局所定数な融合写像の間の同型へ制限される。
• 任意のアーベルリー群 A（離散群および非コンパクト群を含む）に対して有効であり、バーレットの結果を微分形式的空間へ拡張する。
• ループ空間 L(X) は X から自然に微分形式的構造を引き継ぎ、融合写像が滑らかであり、全構成が便利な微分積分学の枠組みと整合することを保証する。
• 証明は、微分形式的設定における滑らかな経路の持ち上げおよびホロノミー輸送の存在に依拠しており、これは古典理論を一般化する。