[論文レビュー] Transient random walk in symmetric exclusion: limit theorems and an Einstein relation

Luca Avena, Renato dos Santos+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、平衡状態における1次元対称排除過程上での最近傍歩行を、占有済みおよび空き状態のサイトで遷移率が異なる場合に考察する。再生時刻に基づく再生構造を用いて、確率測度の下で大数の法則、関数中央極定理、大偏差を確立し、弱い摂動下での速度の微分と拡散係数を結ぶアインシュタイン関係を証明する。

ABSTRACT

We consider a one-dimensional simple symmetric exclusion process in equilibrium, constituting a dynamic random environment for a nearest-neighbor random walk that on occupied/vacant sites has two different local drifts to the right. We construct a renewal structure from which a LLN, a functional CLT and large deviation bounds for the random walk under the annealed measure follow. We further prove an Einstein relation under a suitable perturbation. A brief discussion on the topic of random walks in slowly mixing dynamic random environments is presented.

研究の動機と目的

• 確率測度の下でのランダムウォーク速度の概収束およびLp収束を確立すること。
• ランダムウォークの確率測度の関数中央極定理を導出すること。
• 確率測度の下での大偏差境界を証明すること。
• 弱い摂動下での速度の微分と元のウォークの拡散係数を結ぶアインシュタイン関係を確立すること。
• 排除過程の緩やかな混合とランダムウォークの高速な伝播の相互作用を分析し、再生構造を可能にする。

提案手法

• ランダムウォークが環境の領域から離脱後に再生する再生時刻に基づく再生構造を構築する。
• 条件 $\alpha_0 \wedge \alpha_1 - \beta_0 \vee \beta_1 > 1$ を用いて非定常性と高速伝播を保証し、SSEPの緩やかな混合を克服する。
• マークされた粒子に費やす時間を制御するため、カップリングおよびカップリング型の議論を適用する。
• 環境の上でのエルゴディック平均による速度の導出に、クエンチドマルティンゲール性を用いる。
• 弱い結合 $\lambda$ の下でジャンプレート $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$ に摂動理論を適用し、速度 $v(\lambda)$ を1次まで展開する。
• 恒等式 $\lim_{\lambda \downarrow 0} \hat{\rho}(\lambda) = \rho$ を用いて、環境の経験的密度を平衡測度 $\nu_\rho$ に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度の下でのランダムウォークは大数の法則および関数中央極定理を満たすか？
• RQ2 確率測度の下で大偏差は指数的にまれであるか？
• RQ3 占有済みおよび空き状態のサイトにおけるジャンプレートの小さな摂動に対して、ランダムウォークの速度はどのように応答するか？
• RQ4 緩やかな混合を示す動的確率環境において、アインシュタイン関係を確立できるか？
• RQ5 SSEPの混合時間に比べてランダムウォークの非定常性が速いという点が、再生構造を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• ランダムウォークは強大数の法則を満たす：$\lim_{t \to \infty} X_t / t = v$ $\mathbb{P}_{\nu_\rho}$-ほとんど確実かつすべての $p \geq 1$ に対して $L^p$ 収束し、$v > 1$ である。
• 確率測度の下でのプロセスは関数中央極定理を満たす：$\left( \frac{X_{nt} - ntv}{\sqrt{n}} \right)_{t \geq 0} \Rightarrow \sigma B$ となる $\sigma \in (0, \infty)$ が存在する。
• 確率測度の下での大偏差は指数的にまれである：任意の $\epsilon > 0$ に対して $\limsup_{t \to \infty} t^{-1} \log \mathbb{P}_{\nu_\rho}(|X_t - tv| \geq t\epsilon) < 0$ である。
• アインシュタイン関係が成立する：$\lim_{\lambda \downarrow 0} \frac{v(\lambda) - v(0)}{\lambda} = \alpha + \beta$ であり、速度の微分と元のウォークの拡散係数を結ぶ。
• 環境の経験的密度 $\hat{\rho}(\lambda)$ は $\lambda \downarrow 0$ のとき $\rho$ に収束し、平衡測度と整合的であることが保証される。
• 再生構造は条件 $\alpha_0 \wedge \alpha_1 - \beta_0 \vee \beta_1 > 1$ によって可能となり、この条件により環境の混合時間よりもウォークが速やかに進行することが保証される。