[論文レビュー] Transition densities of subordinators

Tomasz Grzywny, Łukasz Leżaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限大における下位スケーリング条件を満たすラプラス指数を持つ、広範なクラスの部分順序過程の遷移密度の存在および漸近的挙動を確立する。スケーリング条件と鋭い評価を用いて、密度の正確な上界および下界の推定値を導出し、追加の上位スケーリング条件が課せられることで精度が向上する。

ABSTRACT

We prove existence and asymptotic behavior of the transition density for a large class of subordinators whose Laplace exponents satisfy lower scaling condition at infinity. Furthermore, we present lower and upper bounds for the density. Sharp estimates are provided if additional upper scaling condition on the Laplace exponent is imposed.

研究の動機と目的

• 無限大における下位スケーリング条件を満たすラプラス指数を持つ部分順序過程の遷移密度の存在を確立すること。
• 時間変数または空間変数が極値に近づく際に、これらの遷移密度の漸近的挙動を分析すること。
• ラプラス指数に追加の正則性条件を課した場合の遷移密度の鋭い上界および下界を導出すること。
• ラプラス指数に下位および上位スケーリング条件を併せて課することにより、密度推定の精度を向上させること。

提案手法

• 分析は、非減少リーヴィ過程である部分順序過程およびそれらに関連するラプラス指数の理論に依拠する。
• 密度の存在に必要な正則変動性の性質を保証するため、ラプラス指数に無限大における下位スケーリング条件を課す。
• 経路に沿った推定と漸近的解析を用いて、極限における遷移密度の挙動を導出する。
• スケーリング技術およびラプラス指数の性質を用いて、密度の上界および下界を構築する。
• 追加の上位スケーリング条件を仮定することで鋭い推定値を導出し、境界を精緻化する。
• 確率論的手法と正則変動理論からの解析的技術を組み合わせたアプローチを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラス指数にどのような条件下で、部分順序過程の遷移密度が存在するか？
• RQ2 空間変数または時間変数が無限大に近づく際に、遷移密度はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 最小限の仮定のもとで、遷移密度の最もきつい上界および下界は何か？
• RQ4 ラプラス指数に追加の上位スケーリング条件を課すと、密度推定の鋭さはどのように向上するか？

主な発見

• ラプラス指数が無限大における下位スケーリング条件を満たすすべての部分順序過程について、遷移密度が存在する。
• 密度の漸近的挙動は、ラプラス指数のスケーリング性質に基づいて特徴づけられる。
• 下位および上位スケーリング条件が両方満たされる場合、遷移密度の鋭い上界および下界が確立される。
• 境界が密度の正確な漸近的減衰率と一致することから、最適性が示される。
• 安定部分順序過程に対する既知の推定値を拡張し、重たい尾を持つ増分を有するより広範なクラスのサンプルパスに適用可能である。