[論文レビュー] Transition density estimates for a class of Lévy and Lévy-type processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ナッシュ型不等式と複素解析を用いて、対称リーヴィーおよびリーヴィー型過程の遷移密度の対角および非対角上界を確立する。主な貢献は、特性関数の正則性に基づく、新たな非対角推定であり、密度の減衰を大偏差率関数と結びつける。

ABSTRACT

We show on- and off-diagonal upper estimates for the transition densities of symmetric Levy and Levy-type processes. To get the an-diagonal estimates we prove a Nash type inequality for the related Dirichlet form. For the off-diagonal estimates we assume that the characteristic function of a Levy (type) process is analytic, which allows to apply the complex analysis technique.

研究の動機と目的

• 関連するディリクレ型形式に対するナッシュ型不等式を用いて、対称リーヴィー過程の遷移密度の対角上界を導出すること。
• 特性関数が正則であるという仮定の下で、複素解析的手法を用いて非対角上界を確立すること。
• 非対角減衰を支配する関数が、大偏差理論における率関数に正確に一致することを示すこと。
• 記号クラスの仮定とフェラー半群理論を用いて、リーヴィー過程の結果を広範なリーヴィー型過程のクラスに拡張すること。
• 主要定理の条件下で、遷移密度が大偏差原理を満たすことを示すこと。

提案手法

• リーヴィー過程に関連するディリクレ型形式に対するナッシュ型不等式を証明し、対角密度上界を確立する。
• 特性関数の正則性を用いて、特性関数を複素平面に拡張し、フーリエ逆変換における contour 変形を可能にする。
• コーシーの定理を用いて、遷移密度のフーリエ逆変換式における積分路をずらす。
• 指数的減衰率をパrameter化するため、関数 $ v_t(x-y,x,\theta) = -\theta \bullet (x-y) - t q(x,i\theta) $ を定義する。
• 複素シフトにおける最小指数を最適化するため、$ \zeta_0 = \arg\min_\zeta v_t(x-y,x,\zeta) $ を導入する。
• 記号クラス仮定 $ S_{\rho}^{2,\psi} $ および剰余項 $ r(t,x,\xi) $ の減衰条件を用いて、フーリエ逆変換における誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称リーヴィー過程の対角上界として、ナッシュ型不等式からどのように遷移密度の上界を導出できるか？
• RQ2 複素解析的手法を用いて非対角遷移密度推定をどの条件下で得られるか？
• RQ3 遷移密度の非対角減衰率と大偏差率関数の関係は何か？
• RQ4 係数が変化するリーヴィー型過程へ、リーヴィー過程の結果をどのように拡張できるか？
• RQ5 導出された上界の下で、このような過程の遷移密度は大偏差原理を満たすか？

主な発見

• 対角遷移密度は、ナッシュ不等式および特性指数の挙動に基づき、ある $ \kappa > 0 $ に対して $ p_t(x,x) \leq C \cdot t^{-n/\kappa} $ を満たす。
• 特性関数が正則でかつ指数的モーメントを持つリーヴィー過程に対して、非対角密度は $ p_t(x,y) \leq e^{v_t(x-y,x,\zeta_0)} \| \lambda_t(x,\cdot) \|_{L^1} $ を満たす。ここで $ v_t $ は複素位相関数である。
• 非対角減衰を支配する関数 $ v_t(x-y,x,\zeta_0) $ は、過程の大偏差率関数と一致する。
• 記号クラスおよび減衰条件の下で、$ -q(x,D) $ によって生成されるリーヴィー型過程の遷移密度は存在し、$ p_t(x,y) \leq e^{v_t(x-y,x,\zeta_0)} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-tq(x,\xi)} d\xi + \int_{\mathbb{R}^n} e^{i\xi\cdot(x-y)} r(t,x,\xi) d\xi $ を満たす。
• 定理6の条件下で、遷移密度は大偏差原理を満たし、率関数は非対角上界における指数関数として特定される。
• 記号クラス $ S_{\rho}^{2,\psi} $ とフェラー半群枠組みを用いて、結果はリーヴィー型過程に一般化され、遷移密度の存在および滑らかさが保証される。