[論文レビュー] Transition to turbulence when the Tollmien-Schlichting and bypass routes coexist

Stefan Zammert, Bruno Eckhardt|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 74被引用数 5

ひとこと要約

本研究では、直接数値シミュレーションを用いて平面ポアズイユ流れの状態空間をマッピングし、トールマイエン・シュリヒト（TS）波とバイパス遷移が共存し、競合する仕組みを明らかにした。臨界レイノルズ数（Rec ≈ 5815）未満では、初期条件の微小な集合からTS波が発生するが、有限振幅の摂動ではバイパス遷移が支配的となる。Recを超えると、両ルートとも乱流に至るが、時間スケールが著しく異なる。バイパスエッジ状態の安定多様体によって定義される鋭い遷移境界が存在する。

ABSTRACT

Plane Poiseuille flow, the pressure driven flow between parallel plates, shows a route to turbulence connected with a linear instability to Tollmien-Schlichting (TS) waves, and another one, the bypass transition, that is triggered with finite amplitude perturbation. We use direct numerical simulations to explore the arrangement of the different routes to turbulence among the set of initial conditions. For plates that are a distance $2H$ apart and in a domain of width $2\pi H$ and length $2\pi H$ the subcritical instability to TS waves sets in at $Re_{c}=5815$ that extends down to $Re_{TS}\approx4884$. The bypass route becomes available above $Re_E=459$ with the appearance of three-dimensional finite-amplitude traveling waves. The bypass transition covers a large set of finite amplitude perturbations. Below $Re_c$, TS appear for a tiny set of initial conditions that grows with increasing Reynolds number. Above $Re_c$ the previously stable region becomes unstable via TS waves, but a sharp transition to the bypass route can still be identified. Both routes lead to the same turbulent in the final stage of the transition, but on different time scales. Similar phenomena can be expected in other flows where two or more routes to turbulence compete.

研究の動機と目的

• サブクリティカルな平面ポアズイユ流れにおけるトールマイエン・シュリヒト（TS）波とバイパス遷移ルートの共存と競合を調査すること。
• TS波またはバイパス遷移に至る初期条件の状態空間内での配置をマッピングすること。
• 特に臨界レイノルズ数Rec ≈ 5815近辺において、二つの遷移経路を分ける動的境界を特定すること。
• バイパスエッジ状態の安定多様体が状態空間をどのように組織し、遷移タイプを支配するかを理解すること。

提案手法

• Channelflowを用いて、2π×2π×2Hの領域で平面ポアズイユ流れの直接数値シミュレーション（DNS）を実施し、Nx = Nz = 32、Ny = 65とする。
• 状態空間の二次元断面を用い、α ∈ [0,1]でパrameter化し、TS波（TWT S）とバイパスエッジ状態（TWE）の流れ場の間を補間する。
• 数千の初期条件について遷移時間と最終状態を追跡し、TSまたはバイパス乱流に至る領域を特定する。
• エッジ追跡を用いてバイパスエッジ状態（TWE）を特定し、その安定多様体を計算する。
• TWT SおよびTWEの分岐ダイアグラムを分析し、安定性とレイノルズ数に伴う振幅スケーリングを特定する。
• 二重対数プロットを用いて、TWE振幅のReに伴うべき乗則減衰を評価し、∝Re−0.52の関係を同定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面ポアズイユ流れの状態空間において、TS波とバイパス遷移ルートに至る初期条件の集合は、どのように関係しているか？
• RQ2 バイパスエッジ状態（TWE）の安定多様体が、TS遷移とバイパス遷移の領域を分ける役割を果たすか？
• RQ3 TS波の吸引域のサイズは、レイノルズ数の増加に伴いどのように変化するか？
• RQ4 臨界レイノルズ数Rec ≈ 5815を超えた場合、層流プロファイルが線形不安定化する中で、遷移ダイナミクスはどのように変化するか？
• RQ5 二つの遷移ルートは、どの程度同じ最終的な乱流状態に至るのか？また、それらの時間スケールはどのように異なるか？

主な発見

• Rec ≈ 5815未満では、TS波に至る初期条件の集合は極めて小さく、Reの増加に伴い拡大するが、有限振幅摂動ではバイパス遷移が支配的である。
• Recを超えると、バイパスエッジ状態（TWE）の安定多様体が、速やかにバイパス遷移する初期条件（速い）と、ゆっくりとTS波を介して遷移する初期条件（遅い）を明確に分離する鋭い境界として機能する。
• Re > Recの領域では、初期条件が再び層流に戻ることはないが、振幅がTWEの安定多様体を通過すると、遷移時間が急激に短縮され、バイパスルートに切り替わることが示された。
• バイパスエッジ状態TWEの振幅は、大規模なReに対して∝Re−0.52のべき乗則減衰を示し、これは一貫性のある結果である。
• TS波（TWT S）は、Re ≈ 4685までサブクリティカルであり、5727 < Re < 5815の範囲で一意の不安定固有値を持つ下枝状態を有し、エッジ状態として機能する。
• スパン方向の渦（TS波）とストリームワイズ方向の渦（バイパス状態）という異なる流れ構造を有するが、両ルートとも同じ最終的な乱流状態に至る。