[論文レビュー] Transitive and Self-dual Codes Attaining the Tsfasman-Vladut-Zink Bound

Henning Stichtenoth|ArXiv.org|Jun 14, 2005

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、巡回符号の一般化として、可換自己同型群を備えた線形符号である移行的符号（transitive codes）を導入し、q = ℓ² が平方数である有限体 𝔽_q 上で、Tsfasman-Vladut-Zink（TVZ）境界に達することを証明している。新たな漸近的に最適なガロア層を用いて、移行的で、自己直交的かつ自己双対な符号の系列を構成し、q ≥ 49 の場合にギルバート＝ヴァルシャモフ境界を著しく上回る結果を得た。

ABSTRACT

We introduce - as a generalization of cyclic codes - the notion of transitive codes, and we show that the class of transitive codes is asymptotically good. Even more, transitive codes attain the Tsfasman-Vladut-Zink bound over F_q, for all aquares q=l^2. We also show that self-orthogonal and self-dual codes attain the Tsfasman-Vladut-Zink bound, thus improving previous results about self-dual codes attaining the Gilbert-Varshamov bound. The main tool is a new asymptotically optimal tower (E_n) of function fields over F_q where all extensions E_n/E_0 are Galois.

研究の動機と目的

• 巡回符号が漸近的に良いかどうかという未解決問題を、巡回符号の一般化である移行的符号の導入によって解決すること。
• q = ℓ² である 𝔽_q 上の移行的符号がTsfasman-Vladut-Zink（TVZ）境界に達することを証明し、その漸近的な良さを確立すること。
• 自己直交的および自己双対符号がTVZ境界に達することを示し、従来の結果がギルバート＝ヴァルシャモフ境界に留まっていたのを改善すること。
• すべての拡張がガロア的であるような、𝔽_q（q=ℓ²）上での新たな漸近的に最適な関数体の塔を構成し、最適なパラメータを持つ符号の構成を可能にすること。

提案手法

• 対称群 S_n 内の可換自己同型群によって定義される、巡回符号の一般化として移行的符号を導入する。
• すべての拡張 E_n/E₀ がガロア的で、クラス数の成長が最大となるような、𝔽_q（q=ℓ²）上での新たな関数体の塔 E₀ ⊆ E₁ ⊆ E₂ ⊆ … を構築する。
• 関数体の塔に属する除法および微分形式から得られる幾何的ゴッパ符号を用いて、パラメータを制御可能な線形符号を生成する。
• 有理点における微分形式の留数を用いて、構成された符号の双対を特徴づけ、自己直交性および自己双対性を可能にする。
• 点へのガロア作用を活用して符号の移行性を証明し、自己同型群が座標位置に可換に作用することを保証する。
• ドリーフィン＝ヴラダトの境界および塔の種数成長特性を用いて、漸近的パラメータを導出し、符号がTVZ境界に達することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q = ℓ² である有限体上での移行的符号（巡回符号の一般化）が、Tsfasman-Vladut-Zink境界に達するかどうか。
• RQ2 𝔽_q（q=ℓ²）上での自己直交的および自己双対符号がTVZ境界に達するかどうか、従ってギルバート＝ヴァルシャモフ境界を上回るかどうか。
• RQ3 すべての拡張がガロア的であるような、𝔽_q（q=ℓ²）上での新たな関数体の族が、漸近的に最適な符号の構成を可能にするかどうか。
• RQ4 このような塔からの幾何的ゴッパ符号が、微分形式の留数解析を用いて、移行的、自己直交的、または自己双対であることを示せるかどうか。
• RQ5 これらの構造的符号における、レート R と相対最小距離 δ の間の漸近的トレードオフは何か、既知の境界と比較するとどうなるか。

主な発見

• q = ℓ² である 𝔽_q 上の移行的符号は、Tsfasman-Vladut-Zink境界に達し、δ ∈ (0, 1 − 1/(ℓ−1)) の範囲で漸近的レート R ≥ 1 − δ − 1/(ℓ−1) を満たす。
• 𝔽_q（q=ℓ²）上での自己直交的符号は、TVZ境界に達し、δ ∈ (0, 1 − 1/(ℓ−1)) かつ R ≤ 1/2 の範囲で漸近的レート R ≥ 1 − δ − 1/(ℓ−1) を満たす。
• 𝔽_q（q=ℓ²）上での自己双対符号もTVZ境界に達し、漸近的レート R = 1/2 で、相対最小距離 δ が R = 1 − δ − 1/(ℓ−1) を満たす。
• 構成された幾何的ゴッパ符号 C^{(n)}_{a,b} は、0 ≤ a ≤ a_n/2 および 0 ≤ b ≤ b_n/2 の範囲で移行的かつ等直交的であり、a = a_n/2 かつ b = b_n/2 のとき等双対である。
• C^{(n)}_{a,b} の双対は (C^{(n)}_{a,b})^⊥ = u·C^{(n)}_{a_n−a,b_n−b} で与えられ、ここで u は有理点における微分形式の留数のベクトルである。
• q ≥ 49 の場合、TVZ境界はギルバート＝ヴァルシャモフ境界を厳密に上回り、構成された符号はこの改善された境界に達しており、その優位性を示している。