[論文レビュー] Transitive-closure spanners

Arnab Bhattacharyya, Elena Grigorescu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 52被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、アクセス制御、性質テスト、データ構造の問題を統一的に扱う枠組みとして、推移的閉包スパンナ（TCスパンナ）を導入する。本稿では、スパースなk-TCスパンナを構築するための効率的なアルゴリズムを提示し、関連問題における最初の非線形近似比を達成し、強い近似不能性の境界を証明し、H-マイナーを含まない有向グラフに対して構造的O(n)サイズの境界を確立することで、より良い性質テストが可能になる。

ABSTRACT

We define the notion of a transitive-closure spanner of a directed graph. Given a directed graph G = (V, E) and an integer k ≥ 1, a k-transitive-closure-spanner (k-TC-spanner) of G is a directed graph H = (V, EH) that has (1) the same transitive-closure as G and (2) diameter at most k. These spanners were studied implicitly in access control, property testing, and data structures, and properties of these spanners have been rediscovered over the span of 20 years. We bring these areas under the unifying framework of TC-spanners. We abstract the common task implicitly tackled in these diverse applications as the problem of constructing sparse TC-spanners.We study the approximability of the size of the sparsest k-TC-spanner for a given digraph. Our technical contributions fall into three categories: algorithms for general digraphs, inapproximability results, and structural bounds for a specific graph family which imply an efficient algorithm with a good approximation ratio for that family.Algorithms. We present two efficient deterministic algorithms that find k-TC-spanners of near optimal size. The first algorithm gives an O(n1-1/k)-approximation for k > 2. Our method, based on a combination of convex programming and sampling, yields the first sublinear approximation ratios for (1) Directed k-Spanner, a well-studied generalization of k-TC-Spanner, and (2) its variants Client/Server Directed k-Spanner, and the k-Diameter Spanning Subgraph. This resolves the main open question of Elkin and Peleg (IPCO, 2001). The second algorithm, specific to the k-TC-spanner problem, gives an O(n/k2)-approximation. It shows that for k = Ω(√n), our problem has a provably better approximation ratio than Directed k-Spanner and its variants. This algorithm also resolves an open question of Hesse (SODA, 2003).Inapproximability. Our main technical contribution is a pair of strong inapproximability results. We resolve the approximability of 2-TC-spanners, showing that it is θ(log n) unless P = NP. For constant k ≥ 3, we prove that the size of the sparsest k-TC-spanner is hard to approximate within 2log1-en, for any e > 0, unless NP ⊆ DTIME (npolylog n). Our hardness result helps explain the difficulty in designing general efficient solutions for the applications above, and it cannot be improved without resolving a long-standing open question in complexity theory. It uses an involved application of generalized butterfly and broom graphs, as well as noise-resilient transformations of hard problems, which may be of independent interest.Structural bounds. Finally, we study the size of the sparsest TC-spanner for H-minor-free digraphs, which include planar, bounded genus, and bounded tree-width graphs, explicitly investigated in applications above. We show that every H-minor-free digraph has an efficiently con-structible k-TC-spanner of size O(n). This implies an O(1)-approximation algorithm for this family. Furthermore, using our insight that 2-TC-spanners yield property testers, we obtain a monotonicity tester with O(log2n/e) queries for any poset whose transitive reduction is an H-minor free digraph. This improves and generalizes the previous θ(√n log n/e)-query tester of Fischer et al (STOC, 2002).

研究の動機と目的

• アクセス制御、性質テスト、データ構造の多様な応用を、推移的閉包スパンナの枠組みで統一すること。
• 一般の有向グラフに対して、最もスパースなk-TCスパンナを構築する問題の近似可能性を調査すること。
• k-TCスパンナおよびその関連問題（例：有向kスパンナ、kダイヤメータースパンナサブグラフ）の近似比に関する未解決問題を解明すること。
• 2-TCスパンナおよび定数k ≥ 3の近似不能性の強い結果を確立すること。
• H-マイナーを含まない有向グラフにおけるTCスパンナサイズの構造的境界を導出し、効率的な近似と改善された性質テストを可能にすること。

提案手法

• k > 2の場合に、決定的O(n^{1-1/k})-近似アルゴリズムを設計するために、凸計画法と確率的サンプリングを用いる。
• k-TCスパンナに特化したアルゴリズムを適用し、O(n/k²)-近似比を達成。k = Ω(√n)の場合は、一般のkスパンナ手法よりも優れた性能を示す。
• 強力な近似不能性下界を証明するために、一般化されたバタフライおよびブラシグラフを新規に構成に用いる。
• 困難な問題のノイズ耐性のある変換を用い、k ≥ 3のk-TCスパンナの近似が2^{log^{1-ε} n}以内に近似可能でないことを示し、NP ⊆ DTIME(n^{polylog n})でない限り、これは不可能である。
• 構造的洞察を活用して、H-マイナーを含まない有向グラフに対してO(n)サイズの効率的なk-TCスパンナを構築する。
• 2-TCスパンナを活用し、H-マイナーを含まない推移的還元を持つposetに対して、O(log²n / ε)クエリで動作する単調性テストを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の有向グラフに対して、最もスパースなk-TCスパンナを構築する問題の近似可能性は何か？また、非線形近似比を達成できるか？
• RQ2 ElkinとPelegの有向kスパンナに関する未解決問題は、非線形近似比を用いて解けるか？
• RQ3 2-TCスパンナおよび定数k ≥ 3の最も強い近似不能性境界は何か？
• RQ4 H-マイナーを含まない有向グラフは、定数近似比で効率的に構築可能なスパースなk-TCスパンナを備えているか？
• RQ5 TCスパンナの構築は、特に単調性テストにおいて、より良い性質テストを可能にするか？

主な発見

• 本稿は、k > 2の場合にO(n^{1-1/k})という非線形近似比を達成する最初の結果を提示し、ElkinとPelegの未解決問題を解決する。
• k = Ω(√n)の場合、k-TCスパンナのO(n/k²)-近似アルゴリズムは、有向kスパンナおよびその変種に対する既存手法よりも、明示的に優れた近似比を達成する。
• 2-TCスパンナは、P = NPでない限りθ(log n)-近似可能であり、タイトな近似不能性境界を確立する。
• 定数k ≥ 3の場合、最もスパースなk-TCスパンナのサイズは、任意のε > 0に対して2^{log^{1-ε} n}以内に近似可能でないことが証明され、NP ⊆ DTIME(n^{polylog n})でない限り不可能である。
• すべてのH-マイナーを含まない有向グラフは、O(n)サイズの効率的に構築可能なk-TCスパンナを備え、この族に対してO(1)-近似アルゴリズムを提供する。
• この枠組みにより、H-マイナーを含まない推移的還元を持つposetに対して、O(log²n / ε)クエリで動作する単調性テストが可能になり、従来のθ(√n log n / ε)-クエリの境界を改善する。