[論文レビュー] Transitive cylinder flows whose set of discrete points is of full Hausdorff dimension

Eugeniusz Dymek|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の無理数回転 $\alpha \in [0,1)$ に対して、連続なコサイクル $f: [0,1) \to \mathbb{R}$ を用いて、$[0,1) \times \mathbb{R}$ 上に推移的シリンダーフローを構成し、離散的軌道を持つ点の集合がハウスドルフ次元 2 を持つことを示している。この構成は、先行研究を拡張し、離散的軌道集合の最大次元を達成しており、非コンパクト系における『離散的デヴァンキー・カオス』の形を示している。

ABSTRACT

For each irrational $α\in[0,1)$ we construct a continuous function $f\: [0,1) o \R$ such that the corresponding cylindrical transformation $[0,1) imes\R i (x,t) \mapsto (x+α, t+ f(x)) \in [0,1) imes\R$ is transitive and the Hausdorff dimension of the set of points whose orbits are discrete is 2. Such cylindrical transformations are shown to display a certain chaotic behaviour of Devaney-like type.

研究の動機と目的

• ベシコビッチ・シリンダーフローにおける離散的軌道集合の最大ハウスドルフ次元に関する位相的力学における未解決問題を解消すること。
• $d$-トーラス回転における離散的軌道集合が次元 $d + 1/2$ 以上をとることを示した先行結果を、次元 $d+1$ まで拡張すること。
• このような系が、非コンパクト設定において一般化された形のデヴァンキー・カオス、すなわち「離散的デヴァンキー・カオス」としての性質を示すことを示すこと。
• 連続コサイクルを構成するための方法を提供し、それに対応するシリンダーフローがフル次元の離散的軌道集合を持つこと。

提案手法

• 任意の無理数 $\alpha \in [0,1)$ に対して、連続関数 $f: [0,1) \to \mathbb{R}$ を構成し、それに対応するシリンダーマップ $T_f(x,t) = (x+\alpha, t + f(x))$ が推移的であることを保証する。
• 連分数近似と $\alpha$ のディオファントス的性質に基づいて、特定の部分集合 $F^{s_-s_+} \subset [0,1)$ を定義し、これが離散的軌道を支持することを示す。
• Birkhoff和 $f^{(n)}(x)$ の成長を解析し、部分和の有界性を用いて、$F^{s_-s_+} \times \mathbb{R}$ 上の点の軌道が離散的であることを証明する。
• フラクタル幾何学とディオファントス近似の技術を用いて、$F^{s_-s_+}$ のハウスドルフ次元を計算し、それが正確に 1 に等しいことを示す。したがって $F^{s_-s_+} \times \mathbb{R}$ の次元は 2 である。
• 離散的軌道の不変性と $T_f$ の推移性を用いて、$[0,1) \times \mathbb{R}$ 内に離散的点の集合が稠密であることを示す。
• デヴァンキー・カオスの定義において周期点を離散的軌道に置き換えることで「離散的デヴァンキー・カオス」の概念を導入し、有界コンパクト性の下での感度と最大性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小的回転を伴う $\mathbb{T}^d$ 上のベシコビッチ・シリンダーフローにおいて、離散的軌道集合のハウスドルフ次元は $d + 1/2$ を超える可能性があるか？
• RQ2 無理数回転 $\mathbb{T}$ 上の推移的シリンダーフローを構成し、離散的軌道集合がハウスドルフ次元 2 を持つことは可能か？
• RQ3 非コンパクトな力学系において、周期点が離散的軌道に置き換えられた一般化された形のデヴァンキー・カオスが存在するか？
• RQ4 特にフル次元である場合に、このような系における離散的軌道集合の位相的および測度論的構造はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の無理数 $\alpha \in [0,1)$ に対して、連続関数 $f: [0,1) \to \mathbb{R}$ が存在し、それに対応するシリンダーマップ $T_f$ が推移的である。
• 離散的軌道を持つ点の集合には、ハウスドルフ次元が正確に 2 である部分集合 $F^{s_-s_+} \times \mathbb{R}$ を含む。
• この構成により、離散的軌道集合のハウスドルフ次元がフル次元に達しており、$d + 1/2$ よりも大きな次元が可能かどうかという未解決問題が解決された。
• 系は「離散的デヴァンキー・カオス」を示している — すなわち、推移的かつ離散的点の集合が稠密であり、一般化された感度条件を満たす。
• 非周期的離散的点の集合が稠密であり、系は最大感度を示しており、アルセダとプラナスの意味での最大カオス性を示している。
• 動的系は最小的ではなく、空間 $[0,1) \times \mathbb{R}$ は有界コンパクト性を持つため、非周期的離散的軌道は非有界であり、感度に寄与する。