[論文レビュー] Transitive Lie algebroids - categorical point of view

Александр Сергеевич Мищенко|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Diverse Scientific Research in Ukraine被引用数 5

ひとこと要約

本稿は圏論的枠組みを用いて非可換 Lie 代数の分類を実行し、滑らかな多様体から非可換 Lie 代数へのホモトピー関手を引き戻し構成によって確立する。固定された Lie 代数 $g$ を持つ非可換 Lie 代数の同型類は、多様体 $M$ とクラスファイイング空間 $ olimits\mathcal{B}_g$ 間のホモトピー類 $[M, \mathcal{B}_g]$ に一致する。これにより、$ olimits\mathcal{B}_g$ のコホモロジーを用いた特性類の特徴づけが可能になる。主な結果は、可換な $g$ に対して、平坦な Lie 代数バンドルと $H^2(M; \bar{g})$ 内のコホモロジー類による分類である。この手法は、関手の自然変換を用いて、古典的な特性類理論を Lie 代数への一般化する。

ABSTRACT

The intention of this article is to make an attempt of classification of transitive Lie algebroids and on this basis to construct a classifying space. The realization of the intention allows to describe characteristic classes of transitive Lie algebroids form the point of view a natural transformation of functors similar to the classical abstract characteristic classes for vector bundles.

研究の動機と目的

• 非可換 Lie 代数を圏論的およびホモトピー的手段を用いて分類すること。
• 固定された Lie 代数 $g$ を持つ非可換 Lie 代数のためのクラスファイイング空間 $\mathcal{B}_g$ を構成すること。
• 非可換 Lie 代数の特性類を、代数の関手からコホモロジー関手への自然変換として定義すること。
• ベクトルバンドルの古典的特性類理論を非可換 Lie 代数の文脈に一般化すること。
• 非可換 Lie 代数と $ olimits\mathcal{B}_g$ への写像のホモトピー類の間の対応を確立すること。

提案手法

• 滑らかな写像 $f: M' \to M$ における非可換 Lie 代数の引き戻し（逆像）構成 $f^{!!}(\mathcal{A})$ を用い、ホモトピー関手を確立する。
• アレン・ヘイターのベクトルバンドルに関する研究のアイデアを応用し、ホモトープな写像が同型な引き戻しを誘導することを示し、関手がホモトピー的不変であることを示す。
• 多様体 $M$ 上で固定されたファイバー $g$ を持つ非可換 Lie 代数の同型類の集合 $ olimits\mathcal{A}(M)$ に対して、$ olimits\mathcal{A}(M) \cong [M, \mathcal{B}_g]$ となるクラスファイイング空間 $\mathcal{B}_g$ を構成する。
• 特性類を、関手 $\mathcal{A}$ からコホモロジー関手 $H^*$ への自然変換として特徴づけ、Chern-Weil 理論に類似させる。
• 自明化の変更における移行関数 $\varphi_{\beta\alpha}$ と接続形式 $\omega_{\beta\alpha}$ を分析し、自己同型 $\eta_{\beta}$ と 1-形式 $\mu_{\beta}$ を含む変換則を導出する。
• 可換な $g$ の場合、$\varphi_{\beta\alpha}$ が定数であり、$\omega_{\beta\alpha}$ が $C^1(\mathfrak{U}, \Omega^1(\bar{g}))$ 内の Čech サイクルを定める。$d'\omega = d''\omega = 0$ であり、$[\omega] \in H^2(M; \bar{g})$ の類が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換 Lie 代数は、圏論的およびホモトピー的道具を用いてどのように分類可能か？
• RQ2 引き戻し構成は、非可換 Lie 代数のホモトピー関手を確立する上で果たす役割は何か？
• RQ3 非可換 Lie 代数の特性類は、関手の自然変換としてどのように生じるか？
• RQ4 固定された Lie 代数 $g$ を持つ非可換 Lie 代数のためのクラスファイイング空間 $\mathcal{B}_g$ の構造は何か？
• RQ5 $\mathcal{B}_g$ のコホモロジーは、非可換 Lie 代数の特性類をどのようにエンコードするか？

主な発見

• 固定された Lie 代数 $g$ を持つ非可換 Lie 代数の圏は、多様体 $M$ からクラスファイイング空間 $\mathcal{B}_g$ への写像のホモトピー類の圏と同値であり、すなわち $\mathcal{A}(M) \cong [M, \mathcal{B}_g]$ である。
• 可換 Lie 代数 $g$ の場合、非可換 Lie 代数は平坦な Lie 代数バンドル $\bar{g}$ と、$H^2(M; \bar{g})$ 内のコホモロジー類 $[\omega]$ によって分類され、これは Čech サイクル $\omega_{\beta\alpha}$ から生じる。
• 可換な場合、移行関数 $\varphi_{\beta\alpha}(x)$ は定数であり、関連するバンドル $\bar{g}$ が平坦であることを示唆する。
• コホモロジー類 $[\omega]$ は、自明化の選択に依存せず、一意に定まり、変換則が Čech サイクル条件を保存するためである。
• 誘導バンドル $\overline{H_1(g)}$ と $\overline{H^*(g)}$ は平坦であり、接続形式 $\omega_{\beta\alpha}$ はコホモロジー類 $[\overline{\omega}] \in H^2(M; \overline{H_1(g)})$ を誘導する。
• 分類は、ホモロジーへの作用が連続になる最小の位相を備えた、構造群 $\widetilde{\mathrm{Aut}(g)}$ を持つ Lie 代数バンドルによって支配され、関連バンドルの平坦性を保証する。