[論文レビュー] Transitivity Correlation: Measuring Network Transitivity as Comparative Quantity

David Dekker, David Krackhardt+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、従来のクラスタリング係数の限界を克服するため、2つの新しいネットワークの推移性測定指標—推移性ファイ（TPhi）と推移性相関（TC）—を導入する。TCは、すべての補助節点を介した2パスの数と直接的な縁の存在の相関を測定し、風車構造のような高構造的ネットワークにおいては1に近づくが、TPhiは0に近づく。このため、TCはこのような構造的ネットワークにおける推移性をよりよく捉えている。

ABSTRACT

This paper proposes that common measures for network transitivity, based on the enumeration of transitive triples, do not reflect the theoretical statements about transitivity they aim to describe. These statements are often formulated as comparative conditional probabilities, but these are not directly reflected by simple functions of enumerations. We think that a better approach is obtained by considering the linear regression coefficient of ties $i\, ightarrow\,j$ on the number of two-paths $i\, ightarrow\,k ightarrow\,j$ for the $(n-2)$ possible intermediate nodes $k$. Two measures of transitivity based on correlation coefficients between the existence of a tie and the existence, or the number, of two-paths are developed, and called "Transitivity Phi" and "Transitivity Correlation". Some desirable properties for these measures are studied and compared to existing clustering coefficients, in both random (Erdös-Renyi) and in stylized networks (windmills). Furthermore, it is shown that under the condition of zero Transitivity Correlation, the total number of transitive triples is determined by four underlying features of any directed graph: size, density, reciprocity, and the covariance between indegrees and outdegrees. Also, it is demonstrated that plotting conditional probability of ties, given the number of two-paths, provides valuable insights into empirical regularities and irregularities of transitivity patterns.

研究の動機と目的

• 理論的推移性の定式化（条件付き確率の比較に基づく）と、単純な推移的三重項の数え上げに依存する既存の測定指標との間の乖離を是正すること。
• 間接的経路が与えられた場合の直接的縁の確率的増加を反映する測定指標を開発し、社会的ネットワーク理論における推移性の概念的定義と整合させること。
• ネットワークのサイズや密度の違いを考慮しても有効な比較が可能な、絶対的ではなく比較的尺度としての推移性測定を提供すること。
• 推移性は三重項の数に依存するのではなく、サイズ、密度、相互性、次数共分散という4つの構造的特徴によって決定されることを示すこと。
• 2パスの数を条件とした条件付き縁の確率をプロットすることで、推移性行動における実証的パターンと異常を明らかにすること。

提案手法

• 直接的縁 (i,j) の存在と、ランダムに選ばれた補助節点 k を通る1つのランダム2パス (i→k→j) の存在との間の相関として、推移性ファイ（TPhi）を定義する。
• 直接的縁 (i,j) の存在と、すべての可能な補助節点 k を通る2パスの総数との間の相関として、推移性相関（TC）を定義する。
• 各節点ペアをランダム標本とみなして、縁インジケータを2パス数で回帰することで、相関に基づく測定指標を導出する。
• スタイリゼッドネットワーク（例：風車グラフ）とランダムな Erdős-Rényi ネットワークを用いて、測定指標の行動と解釈可能性を比較分析する。
• TC = 0 となる理論的条件を導出し、それがネットワークのサイズ、密度、相互性、およびイン・デグリーとアウト・デグリーの共分散の特定の組み合わせに等価であることを示す。
• 両測定指標の計算の構造的基盤として、ノードとそのアウト・ネイバーからなるエゴネットワーク（誘導部分グラフ）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 間接的経路が与えられた場合の直接的縁の確率的増加を反映するように、推移性をどのように測定できるか？
• RQ2 なぜ従来のクラスタリング係数は推移性の比較的性質を捉えられておらず、その是正にはどのようなアプローチが有効か？
• RQ3 推移性相関（TC）の値を決定づける構造的特徴は何であり、TC = 0 となる状態を閉形式の条件で特徴づけられるか？
• RQ4 TPhi と TC は、特に風車のような高推移的構造を示すネットワークにおいて、どのように行動が異なるか？
• RQ5 2パスの数を条件とした条件付き縁の確率を可視化することで、実世界のネットワークにおける意味のある実証的パターンが明らかになるか？

主な発見

• 風車グラフにおいて、羽の数が多い場合、推移性相関（TC）は1に近づくが、推移性ファイ（TPhi）は0に近づく。このため、TCはこのような構造的ネットワークにおける推移性をよりよく捉えている。
• TCが0であるのは、ネットワークのサイズ、密度、相互性、およびイン・デグリーとアウト・デグリーの共分散が特定の結合条件を満たす場合に限る。これは深い構造的制約を示している。
• Erdős-Rényi モデル下では、推移性に関係なくクラスタリング係数は (0,1) の任意の値を取り得る。これは、従来の係数が比較的確率的傾向を反映できないことを示している。
• 2パスの数を条件とした条件付き縁の確率をプロットすることで、推移性における実証的規則性や不規則性（例：線形性からの逸脱）が明らかになり、隠れたメカニズムの兆候が得られる。
• 完全に分離した同じサイズの完全部分グラフから構成されるネットワークでは、TC と TPhi の両方が1に達する。これは、最大推移性が相関測定によって一意に捉えられないことを示している。
• 提案された測定指標はネットワークのサイズや密度に対して不変であり、従来のクラスタリング係数とは異なり、多様なネットワーク間での有効な比較が可能である。