[論文レビュー] Transitivity of codimension one Anosov actions of R^k on closed manifolds

Thierry Barbot, Carlos Maquera|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、次元が k+2 より大きい閉じた、連結で向きつけのつく多様体上の ℝᵏ のcodimension one Anosov作用が位相的軌道的であることを確立している。不安定な葉のアフィン構造とcodimension-one foliationの位相を用いて、著者たちは、ℝᵏ の任意の正則部分錐が稠密な軌道をもつことを証明し、Verjovsky の codimension one Anosov フローに関する結果を一般化している。

ABSTRACT

In this paper, we define codimension one Anosov actions of $\RR^k, k\geq 2,$ on a closed connected orientable manifold $M$. We prove that if the ambient manifold has dimension greater than $k+2$, then the action is topologically transitive. This generalizes a result of Verjovsky for codimension one Anosov flows.

研究の動機と目的

• ℝᵏ の高ランク作用への Verjovsky の codimension one Anosov フローに関する結果の拡張を図る。
• ℝᵏ の作用要素の不安定foliation の次元が 1 であるような Anosov 作用の軌道的性質を調査する。
• そのような作用が、全 ℝᵏ 行動下あるいは部分群下で稠密な軌道をもつかどうかを特定する。
• 普遍被覆の軌道空間とfoliation 構造を解析し、グローバルな位相的制約を導出する。

提案手法

• 正則部分錐 𝒞 ⊂ ℝᵏ の不安定foliation 𝔽ᵘᵘ を分析し、各葉が ℝᵏ 行動によって保存されるアフィン構造をもつことを証明する。
• codimension one の安定foliation 𝔽ˢ 及びその横断的ホロノミーを、codimension-one foliation の古典的理論を用いて研究する。
• 普遍被覆 M̃ 上での持ち上げられた作用の軌道空間を構成し、それが ℝⁿ⁻ᵏ に同相なハウスドルフ多様体であることを示す。
• 不安定な葉が軌道空間内の埋め込まれた球面と交わることに基づく背理法を用いて、コンパクトな軌道が存在しないことを排除する。
• Jordan-Schönflies の定理を用いて、軌道空間に位相的球体を埋め込み、位相的障害を導出する。
• 不安定な葉にコンパクトな軌道が高々一つしか存在しないという事実を活用し、2つの固定点が見つかった場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵏ のcodimension one Anosov作用が閉じた多様体上で位相的軌道的となる条件は何か？
• RQ2 環境多様体の次元が k+2 より大きいとき、そのような作用の軌道的性質は確立可能か？
• RQ3 任意の正則部分錐 𝒞 ⊂ ℝᵏ は、多様体上で稠密な軌道をもつか？
• RQ4 codimension one Anosov 作用における不安定な葉にアフィン構造が存在する場合、どのような位相的制約が生じるか？
• RQ5 Anosov フローに関する Verjovsky の予想は、高ランク Anosov 作用へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 次元が k+2 より大きい閉じた多様体上の任意の codimension one Anosov 作用は、位相的軌道的である。
• 任意の正則部分錐 𝒞 ⊂ ℝᵏ に対して、点の 𝒞-軌道は多様体上で稠密であり、部分群に対しても強い軌道的性質が成立する。
• 普遍被覆上の持ち上げられた作用の軌道空間は ℝⁿ⁻ᵏ に同相であり、重要な位相的不変量である。
• 作用の各不安定な葉には、ℝᵏ 行動によって保存される標準的なアフィン構造が存在する。
• 不安定な葉にコンパクトな軌道が存在する場合、それは固定軌道でなければならず、動的性質からこれは不可能である。
• 証明は、不安定な葉と軌道空間内の位相的埋め込み球面との交わりに基づく背理に依存する。