[論文レビュー] Transitivity of Surface Dynamics Lifted to Abelian Covers

Philip Boyland|ArXiv.org|Apr 14, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな曲面上の相対的擬アノソフ写像について、3つの条件の同値性を確立している：(a) $H_1$-推移性、(b) 1次ホモロジーへの作用のスペクトル半径が1であること、(c) すべての基本アーベル被覆への上昇された不安定foliationの葉が稠密であること。証明は、回転集合と有限上昇性質を用いて、推移性の特徴づけを、有限型の推移的符号的シフトのねじれ${\mathbb{Z}}^d$-拡張に関して行う。

ABSTRACT

A homeomorphism f of a manifold M is called H_1-transitive if there is a transitive lift of an iterate of f to the universal Abelian cover M. Roughly speaking, this means that f has orbits which repeatedly and densely explore all elements of H_1(M). For a rel pseudo-Anosov map ϕof a compact surface M we show that the following are equivalent: (a) ϕis H_1-transitive, (b) the action of ϕon H_1(M) has spectral radius one, and (c) the lifts of the invariant foliations of ϕto M have dense leaves. The proof relies on a characterization of transitivity for twisted \Z^d-extensions of a transitive subshift of finite type.

研究の動機と目的

• コンパクトな曲面上の相対的擬アノソフ写像の$H_1$-推移性を、代数的・力学的・位相的不変量を用いて特徴づける。
• 写像の$H_1(M)$への作用のスペクトル半径と、その基本アーベル被覆への上昇写像の推移性との間の明確な関係を確立する。
• 上昇された不安定foliationの葉が、基本アーベル被覆で稠密になる条件を特定する。
• 非自明なホモロジー的ねじれ（相対的擬アノソフ力学に由来）を伴う非自明な符号的シフトのねじれ拡張への既知の結果を拡張する。

提案手法

• 回転集合と有限上昇性質を用いて、有限型の推移的符号的シフトのねじれ${\mathbb{Z}}^d$-拡張の推移性を特徴づける。
• フリード商構成を用いて、基本アーベル被覆への上昇写像の力学的性質を分析する。
• 回転ベクトルと回転集合の概念を用いて、「すべての方向」の条件を形式化し、推移性に必要な条件を明確にする。
• 記号的モデルと上昇多様体との間の準等長性を活用し、被覆上の力学とホモロジー的挙動との関係を結びつける。
• 有限上昇性質を、基本空間での推移性が適切な条件下で被覆上でも成立することを保証する主要な道具として用いる。
• バナッハのカテゴリ定理を用いて、被覆上で葉が稠密である点の集合が、少なくとも1つの葉が稠密であるとき、稠密な$G_\delta$集合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的擬アノソフ写像$\phi$が$H_1$-推移的であるための条件は何か？
• RQ2 写像の$H_1(M)$への作用のスペクトル半径は、その基本アーベル被覆への上昇写像の推移性とどのように関係するか？
• RQ3 上昇された不安定foliationの葉が、基本アーベル被覆で稠密になるのはいつか？
• RQ4 上昇動力学の回転集合は、推移性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 有限上昇性質は、非自明なねじれ拡張の符号的シフトに対して、推移性を特徴づけるために用いることができるか？

主な発見

• 相対的擬アノソフ写像$\phi$は、$H_1(M)$上の$\phi_*$のスペクトル半径がちょうど1であるときに限り、$H_1$-推移的である。
• もし$\phi_*$のスペクトル半径が1であれば、上昇された不安定foliation $\tilde{\mathcal{F}}^u$の葉のうち、基本アーベル被覆$\tilde{M}$で稠密であるものが存在する。
• $\phi$が$H_1$-推移的であるとき、$\tilde{M}$内の不安定葉が稠密である点の集合は、稠密な$G_\delta$集合である。
• 非自明な葉は、稠密でない場合でも、常に$\tilde{M}$内で有界でない。
• 上昇foliationには、スペクトル半径が1であっても、稠密でない非自明な葉が常に存在する。
• $\rho(\phi_*) \neq 1$であれば、上昇foliationのいかなる葉も$\tilde{M}$で稠密ではない。