[論文レビュー] Translatable radii of an operator in the direction of another operator II

Kallol Paul|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間上の有界線形作用素 $ T $ と $ A $ に対して、$ Tf $ の $ Af $ に対する直交成分のノルムの上界として定義される、可翻写半径 $ M_T(A) $ を考察する。一般固有値問題 $ Tf = \lambda Af $ における定常距離ベクトルとなる単位ベクトルであるための必要十分条件を確立し、$ M_T(A)^2 $ を $ T^*T $、$ A^*T $、$ A^*A $ を含む関数型の上界として表現することにより、ウィリアムズの定理を一般化し、スペクトル理論および数値範囲論を方向的作用素摂動へと拡張する。

ABSTRACT

One of the couple of translatable radii of an operator in the direction of another operator introduced in earlier work[13] is studied in details. A necessary and sufficient condition for a unit vector f to be a stationary vector of the generalized eigenvalue problem $ Tf = λA f $ is obtained. Finally a theorem of Williams[16] is generalized to obtain a translatable radius of an operator in the direction of another operator.

研究の動機と目的

• 一般固有値問題 $ Tf = \lambda Af $ において、$ Tf $ が固有ベクトルからどれほどずれるかの偏差を最小化または最大化するベクトルを特徴づけること。
• この一般化された設定において、単位ベクトルが定常距離ベクトルであるための必要十分条件を確立すること。
• 作用素ノルムに関するウィリアムズの定理を、別の作用素 $ A $ の方向における方向的平行移動の文脈に一般化すること。
• 可翻写半径 $ M_T(A) $ を、$ T^*T $、$ A^*T $、$ A^*A $ を含む関数型の上界として状態の上でとることにより、作用素幾何学と関数解析学を結びつけること。

提案手法

• 可翻写半径を $ M_T(A) = \sup_{\|f\|=1} \left\| Tf - \frac{(Tf, Af)}{(Af, Af)} Af \right\| $ として定義し、$ Tf $ の $ Af $ に対する直交成分のノルムを測定する。
• 方向微分を用いた定常ベクトルの概念を用いる：単位ベクトル $ f $ が、すべての方向 $ g $ に対して $ M_T^2(f) $ の微分が消えるとき、すなわち臨界点条件を満たすとき、定常であるとみなす。
• 必要十分条件を導出：$ h = Tf - \lambda Af $、$ \lambda = (Tf, Af)/(Af, Af) $ とおくと、$ (T^* - \bar{\lambda}A^*)(T - \lambda A)f = \|h\|^2 f $ が成り立つ。
• もし $ M_T(A) $ がベクトル $ f $ で達成されるならば、$ M_{T^*}(A^*) $ は $ h/\|h\| $ で達成されることを示し、双対問題との関係を確立する。
• 単位球の弱コンパクト性を用いて、$ M_T(A)^2 $ の上界を達成する列 $ \{f_n\} $ が弱収束する場合（非ゼロであれば）、その弱極限が半径を達成することを示す。
• ウィリアムズの定理を一般化し、$ \mathcal{P} $ を $ g(A^*A) \neq 0 $ を満たす状態の集合とするとき、$ M_T(A)^2 = \sup_{g \in \mathcal{P}} \left( g(T^*T) - \frac{|g(A^*T)|^2}{g(A^*A)} \right) $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般固有値問題 $ Tf = \lambda Af $ において、単位ベクトル $ f $ が定常距離ベクトルであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 可翻写半径 $ M_T(A) $ が特定のベクトルで達成されるための条件は何か？
• RQ3 $ M_T(A) $ の達成が、上界を達成する単位ベクトル列の弱極限とどのように関係するか？
• RQ4 作用素ノルムに関するウィリアムズの定理は、別の作用素 $ A $ の方向における方向的平行移動の状況に一般化可能か？
• RQ5 可翻写半径 $ M_T(A) $ と、$ T^*T $、$ A^*T $、$ A^*A $ を含む関数型の状態上での上界との関係は何か？

主な発見

• 単位ベクトル $ f $ が一般固有値問題 $ Tf = \lambda Af $ に対して定常距離ベクトルであるための必要十分条件は、$ h = Tf - \lambda Af $、$ \lambda = (Tf, Af)/(Af, Af) $ とおくと、$ (T^* - \bar{\lambda}A^*)(T - \lambda A)f = \|h\|^2 f $ が成り立つことである。
• もし $ M_T(A) $ がベクトル $ f $ で達成されるならば、$ M_{T^*}(A^*) $ は正規化されたベクトル $ h/\|h\| $ で達成され、主問題と双対問題との間に双対性が存在することが示される。
• 可翻写半径 $ M_T(A) $ が単位ベクトルで達成されるための十分条件は、上界を達成する列の弱極限がゼロでない場合に成立する。そうでなければ、すべてのこのような列は弱収束してゼロに近づく。
• 上界 $ M_T(A)^2 $ は、すべての状態 $ g $ に対して $ g(A^*A) \neq 0 $ を満たすものについて、$ g(T^*T) - \frac{|g(A^*T)|^2}{g(A^*A)} $ の上界に等しくなる。これにより、ウィリアムズの定理が一般化される。
• $ A = I $ の場合に、この結果はウィリアムズの元の定理に還元され、古典的状況と整合することが確認される。
• 可翻写半径は、$ m_T(A) $ を $ \{ (Tf, Af)/(Af, Af) : \|f\|=1 \} $ を含む最小の円の半径とするとき、$ \tilde{M}_T(A) \geq M_T(A) \geq m_T(A)/\|A^{-1}\| $ を満たす。