[論文レビュー] Translating graphs by mean curvature flow

Leili Shahriyari|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ℝ³における平均曲率流れ下での完全な翻訳グラフが、境界付近で平面に漸近的収束する場合、いずれかの整関数グラフ、二つの鉛直平面の間のグラフ、または平面の一方側のグラフであることを確立している。共形計量における安定性と曲率推定を用いて、有界領域上にはこのようなグラフが存在しないことを証明し、重要な幾何的分類問題を解決した。

ABSTRACT

The aim of this work is studying translating graphs by mean curvature flow in $\Real^3$. We prove non-existence of complete translating graphs over bounded domains in $\Real^2$. Furthermore, we show that there are only three types of complete translating graphs in $\Real^3$; entire graphs, graphs between two vertical planes, and graphs in one side of a plane. In the last two types, graphs are asymptotic to planes next to their boundaries. We also prove stability of translating graphs and then we obtain a pointwise curvature bound for translating graphs in $\Real^3$.

研究の動機と目的

• ℝ³における平均曲率流れ下でのすべての完全な翻訳グラフを分類すること。
• ℝ²の有界領域上に完全な翻訳グラフが存在しないことを証明すること。
• 翻訳グラフが定義領域の境界付近でどのように振る舞うかの漸近的挙動を確立すること。
• 共形計量における安定性から曲率推定を導出すること。
• ℝ³における完全な翻訳グラフの完全な幾何的分類を提供すること。

提案手法

• 翻訳グラフが共形計量 g_ij = e^{x₃}δ_ij における安定な最小曲面であることを証明する。
• 機能的 F(Σ) = ∫_Σ∩B_r(p) e^{x₃} dμ の第一および第二変分公式を用いて、安定性作用素 L を導出する。
• 安定性条件の共形不変性を応用し、L-安定性を最小曲面論に結びつける。
• 翻訳グラフのコンパクトネス定理を用いて、スケーリングした曲面の逐次的極限を抽出する。
• w が勾配の法線成分であるとき、1/w に Harnack 不等式を適用し、曲率の爆発を制御する。
• 有界幾何と鉛直平面への収束に基づく背理法を用いて、有界領域上でのグラフの存在を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ²の有界領域上に、ℝ³における完全な翻訳グラフは存在するか？
• RQ2 ℝ³における完全な翻訳グラフの可能なグローバル幾何的タイプは何か？
• RQ3 翻訳グラフは定義領域の境界付近でどのように振る舞うか？
• RQ4 共形計量における安定性から、翻訳グラフの曲率推定を導出できるか？
• RQ5 翻訳グラフが定義領域の境界に近づくにつれて、漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• スケーリングとコンパクトネスを用いた背理法により、ℝ²の有界領域上にℝ³における完全な翻訳グラフは存在しないことが証明された。
• ℝ³における完全な翻訳グラフの可能なタイプは、以下の三つに限られる：整関数グラフ、二つの鉛直平面の間のグラフ、または平面の一方側のグラフ。
• 翻訳グラフは定義領域の境界付近で鉛直平面に漸近的である。これは、境界に近づくにつれてグラフが平面に近づくことを意味する。
• 翻訳グラフの曲率は点ごとに有界であり、共形計量における安定性と最小曲面論から導出された。
• w が勾配の法線成分であるとき、1/w は楕円型偏微分方程式を満たし、これにより Harnack 不等式を適用し、爆発挙動を制御できる。
• 定義領域が有界な場合、グラフの平均曲率は境界付近でゼロに近づくが、これは円筒的境界の期待される非ゼロ曲率と矛盾する。