[論文レビュー] Translation-invariant generalized topologies induced by probabilistic norms

Bernardo Lafuerza–Guillén, Jose L. Rodrıguez-Blancas|arXiv (Cornell University)|May 23, 2005

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非連続な三角関数を有するメンジャープロバビリスティックノルム空間（PN空間）から生じる実ベクトル空間上の平行移動不変一般位相の特徴付けを確立する。非連続な三角関数を有するPN空間から導かれるような位相が、ある条件のもとで、原点における0近傍系が可算個の径数的かつ円形集合の基底をもつことと同値であることを証明する。t-ノルムTに関する弱い条件のもとで、連続性を仮定しない設定への確率的距離化理論の拡張が達成される。

ABSTRACT

In this paper we consider probabilistic normed spaces as defined by Alsina, Sklar, and Schweizer, but equipped with non necessarily continuous triangle functions. Such spaces endow a generalized topology that is Fréchet-separable, translation-invariant and countably generated by radial and circled 0-neighborhoods. Conversely, we show that such generalized topologies are probabilistically normable.

研究の動機と目的

• 連続でない三角関数を有する確率的ノルム空間理論を拡張すること。
• ベクトル空間における確率的ノルムによって誘導される一般位相を特徴づけること。
• このような一般位相が確率的ノルム可能であるための条件を確立すること。
• ホーレの確率的距離化結果を、確率的ノルムの文脈に一般化すること。
• 非連続構造を有するPN空間における確率的ノルム可能性と有界性の関係を調査すること。

提案手法

• sup₀≤x<1 T(x,x) < 1 かつ十分に小さい x,y に対して T(x,y) ≤ xy を満たす t-ノルム T を用いて、三角関数 τ_T および τ_T* を定義する。
• 径数的かつ円形な0近傍の可算フィルター基底 {V_n} を用いて、ベクトル空間 S 上に確率的ノルム ν を構成する。
• 各近傍 V_n のインデックス n に依存する分布関数 F_n を用いて ν_p(x) を定義する。
• フレシェおよびホーレの一般位相枠組みを適用し、平行移動不変性およびフレシェ分離性を保証する。
• (S, ν, τ_T, τ_T*) が、シュェルツネフ条件を含む、メンジャーピン空間のすべての公理を満たすことを検証する。
• フィルター基底の同値性により、ν が誘導する一般位相が元の位相と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実ベクトル空間上に定義された平行移動不変かつフレシェ分離可能な一般位相が、非連続な三角関数を有するメンジャーピン空間から導けるための条件は何か？
• RQ2 確率的ノルム可能性に必要な十分な0近傍系の位相的性質（例：径数的、円形）は何か？
• RQ3 局所的乗法的性質（T(x,y) ≤ xy 0付近）を有する t-ノルムは、確率的ノルムの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ホーレの確率的距離化結果は、PM空間からPN空間へ、連続性の仮定を弱めた場合に拡張可能か？
• RQ5 非連続な三角関数を有するPN空間において、ν が誘導する一般位相と D-有界性の関係は何か？

主な発見

• 実ベクトル空間 S 上のフレシェ分離的かつ平行移動不変な一般位相が、メンジャーピン空間 (S, ν, τ_T, τ_T*) から導けるための必要十分条件は、0近傍系が径数的かつ円形集合の可算基底をもつことである。
• t-ノルム T は sup₀≤x<1 T(x,x) < 1 かつ十分に小さい x,y に対して T(x,y) ≤ xy を満たす必要がある（ある δ > 0 が存在する）。これにより局所的乗法的性質が保証される。
• 確率的ノルム ν は、径数的かつ円形な0近傍の可算フィルター基底 {V_n} を用いて、値が減少する分布関数 F_n を介して明示的に構成される。
• 公理 (N3) — 確率的三角不等式 — は、τ_T(ν_p, ν_q)(x) ≤ 1 - 1/N₀ ≤ ν_{p+q}(x) という評価により成立する。ここで N₀ は 1 - 1/N₀ ≥ sup T(x,x) を満たすように選ばれる。
• 公理 (N4) — 凸性条件 — は t-コノルム τ_T* と T の乗法的性質を用いて検証され、ν_p ≤ τ_T*(ν_λp, ν_(1−λ)p) が保証される。
• ν が誘導する一般位相は、元の位相と同値である。これは、フィルター基底 {p : ν_p(1/(n+1)) ≥ 1 - 1/(N₀(n+1))} が元の {V_n} と一致することにより示される。