[論文レビュー] Translation invariant pure states and its split property

Anilesh Mohari, Cit Campus|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関連するCuntz状態の補助射影上でのマルコフ写像に基づき、量子スピン鎖における移動不変純状態が一意に定まることを確立する。マルコフ写像のコルモゴロフ性質が純粋性の必要十分条件であることを証明し、非可換確率論からの双対性を用いて代替的特徴付けを導出し、最終的にハイガ・双対性を証明するとともに、特定の相関関数の指数的減衰下で成り立つT. マツイのスプリット性に関する予想を裏付ける。

ABSTRACT

A translation invariant state in quantum spin chain is determined uniquely upto isomorphism by a Markov map on the support projection of an associated Cuntz’s state. We prove that Kolmogorov’s property of the Markov map is a necessary and sufficient condition for such a state to be pure. Kolmogorov’s property naturally give rise to a Mackey’s system of imprimitivity for the group of integers. A duality argument originated from non-commutative probability theory is employed to prove an elegant alternative necessary and sufficient condition for pureness. Main result of this theory made it possible to prove Haag duality property of any translation invariant lattice symmetric pure state. Further such a real state is split if special correlation function decays exponentially. The last statement proves T Matsui’s conjecture on split property for a translation invariant real lattice symmetric pure state.

研究の動機と目的

• 量子スピン鎖における移動不変純状態を、Cuntz状態の補助射影上でのマルコフ写像を用いて特徴付ける。
• マルコフ写像のコルモゴロフ性質を用いて、このような状態の純粋性の必要十分条件を同定する。
• 非可換確率論から生じる双対性に基づき、純粋性の代替的条件を確立する。
• 任意の移動不変格子対称純状態がハイガ・双対性を満たすことを証明する。
• 特定の相関関数の指数的減衰下で成り立つT. マツイのスプリット性に関する予想を確認する。

提案手法

• Cuntz状態の補助射影上に定義されたマルコフ写像を用いて、量子スピン鎖における移動不変状態を特徴付ける。
• 純粋性の基準としてマルコフ写像のコルモゴロフ性質を適用し、それが必要十分条件であることを確立する。
• 非可換確率論に基づく双対性論法を用いて、純粋性の代替的必要十分条件を導出する。
• コルモゴロフ性質から自然に生じる整数群のマッケイの不変性系を活用する。
• 相関関数を分析してスプリット性を特定し、指数的減衰がスプリット性を意味することを示す。
• マルコフ写像の構造的解析と対称性・双対性を組み合わせ、格子対称純状態におけるハイガ・双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子スピン鎖における移動不変状態の純粋性を保証するマルコフ写像の条件は何か？
• RQ2 マルコフ写像のコルモゴロフ性質は、このような状態の純粋性とどのように関係するか？
• RQ3 非可換確率論からの双対性論法は、純粋性の代替的特徴付けを可能にするか？
• RQ4 すべての移動不変格子対称純状態がハイガ・双対性を満たすか？
• RQ5 特定の相関関数の指数的減衰がスプリット性を意味するのはどのような条件下か？

主な発見

• マルコフ写像のコルモゴロフ性質は、移動不変状態が純粋であるための必要十分条件である。
• 非可換確率論からの双対性論法により、純粋性の洗練された代替的必要十分条件が得られる。
• すべての移動不変格子対称純状態がハイガ・双対性を満たす。
• このような実状態のスプリット性は、特定の相関関数が指数的に減衰する場合に限り成り立つ。
• 本稿は、T. マツイのスプリット性に関する予想を、移動不変実格子対称純状態について確認する。
• 整数群のマッケイの不変性系は、マルコフ写像のコルモゴロフ性質から自然に生じる。