[論文レビュー] Translation-like Actions and Aperiodic Subshifts on Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

semigroups and automata theory参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限生成群 $ G $ に有限表現群 $ H $ が移動類似作用を施す場合、$ H $ が弱く非周期的な有限型符号（SFT）をもてば、$ G $ に対しても同様のSFTが存在することを確立している。主な貢献は、部分群包含を超えて移動類似作用へと非周期性の継承を一般化し、無限の有限生成群および非可換な有限生成群の直積がすべて弱く非周期的なSFTと決定不能なドミノ問題を有することを証明したことである。

ABSTRACT

It is well known that if $G$ admits a f.g. subgroup $H$ with a weaklyaperiodic SFT (resp. an undecidable domino problem), then $G$itself has a weakly aperiodic SFT (resp. an undecidable domino problem).We prove that we can replace the property "$H$ is a subgroup of $G$"by "$H$ acts translation-like on $G$", provided $H$ is finitely presented.In particular:* If $G\_1$ and $G\_2$ are f.g. infinite groups, then $G\_1 imes G\_2$ has a weakly aperiodic SFT (and actually a undecidable domino problem). In particular the Grigorchuk group has an undecidable domino problem. * Every infinite f.g. $p$-group admits a weakly aperiodic SFT.

研究の動機と目的

• 部分群包含を超えて、より広いクラスの群作用へ弱く非周期的なSFTの継承を拡張すること。
• 有限生成群 $ G $ に有限生成群 $ H $ が移動類似作用を施す場合、その作用が弱く非周期的なSFTの存在を保つ条件を調査すること。
• 二つの無限の有限生成群の直積が弱く非周期的なSFTと決定不能なドミノ問題を有することを確立すること。
• すべての無限の有限生成 $ p $-群が弱く非周期的なSFTを有することを示すこと。
• 移動類似作用と群上の記号的力学におけるドミノ問題の決定不能性との関係を調査すること。

提案手法

• 群 $ G $ のケーリー図の辺を一部削除した上で、その図を群 $ H $ のケーリー図のコピーに分割する形で、移動類似作用を定義する。
• $ G $ 上の有限型符号（SFT）に、このような移動類似作用の存在を有限局所的制約で符号化する。
• $ H $ の有限提示性を活用し、符号化が有効かつ局所的であることを保証することで、$ G $ 上のSFTの構成を可能にする。
• 既存の $ \bbZ \times G $ の作用に関する結果を、任意の有限生成群 $ H $ が $ G $ に移動類似作用を施す場合に一般化する。
• 具体的なケースに適用する：$ H = \bbZ $、$ H = B(1,n) $、$ H = \bbZ^2 $ により、直積や非可換群に関する結果を導出する。
• 群 $ H $ 上の符号化における非周期性が、移動類似作用を通じて群 $ G $ 上の符号化へと持ち上がることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く非周期的なSFTの継承を、部分群包含から移動類似群作用へ拡張できるか。
• RQ2 有限生成群 $ H $ が $ G $ に移動類似作用を施す場合、どのような条件下で $ G $ が弱く非周期的なSFTを有することになるか。
• RQ3 二つの無限の有限生成群の直積は、弱く非周期的なSFTと決定不能なドミノ問題を有するか。
• RQ4 ドミノ問題が作用する群では決定可能であっても、移動類似作用を通じて決定不能性が継承可能か。
• RQ5 弱く非周期的なSFTの存在は、群のクアイジアイソメトリの不変量か。また、移動類似作用とはどのように関係するか。

主な発見

• 有限生成群 $ G $ に有限表現群 $ H $ が移動類似作用を施し、$ H $ が弱く非周期的なSFTを有するならば、$ G $ に対しても同様のSFTが存在する。
• 任意の二つの無限の有限生成群 $ G_1 \times G_2 $ の直積は、弱く非周期的なSFTと決定不能なドミノ問題を有する。
• グリゴルチキン群は、無限の有限生成 $ p $-群であるため、決定不能なドミノ問題を有する。
• すべての無限の有限生成 $ p $-群は、弱く非周期的なSFTを有する。
• $ G $ が $ \bbZ $ と同型な正規部分群をもつとき、$ G $ は決定不能なドミノ問題を有するが、$ G $ が擬円型でない限り。
• $ n \notin \{1,-1\} $ であるバウムスラッグ＝ソリター群 $ B(1,n) $ は、$ G $ に移動類似作用を施すため、$ G $ は決定不能なドミノ問題を有する。